Анализ устойчивости системы

АНАЛИЗ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Задание: Составить структурную схему системы. Определить передаточные функции системы по задающему, возмущающему воздействиям и для ошибок по этим воздействиям. Выполнить анализ устойчивости системы по критериям Найквиста, Гурвица, Михайлова. Определить запас устойчивости. Оценить качество управления по переходным характеристикам.

Исходные данные:

ПЭ: 2pX₁+X₁=2X

УЭ: 2Х₃=рХ₂

РЭ: pX₄+2X₄=X₃

МОС: 2pX₄-4X₄=рХ₃

ОУ: 2pX₅+X₅=p X₄

ГОС: У₁=3У

F-: 2рХ₇+Х₇=2f

Составление структурной схемы системы

Структурной схемой называется наглядное графическое изображение математической модели (математического описания) системы.

На структурной схеме каждое звено изображается прямоугольником, внутри которого записывается математическое описание звена. Связи между звеньями структурной схемы изображаются линиями со стрелками, соответствующими направлению прохождения сигналов.

Элементы, осуществляющие сложение и вычитание сигналов на структурной схеме, изображают в виде окружностей. Над стрелкой проставляется знак сигнала. Иногда окружность разбивают на сектора. Тогда сектор, к которому подходит вычитаемый сигнал, затушёвывается.

Математическое описание звеньев составляют на основании законов той области знаний, к которой относится рассматриваемое звено. Если звено описывается линейным дифференциальным уравнением, то его называют линейным. Если звено описывается нелинейным уравнением, то его называют нелинейным. Системы, которые содержат только линейные звенья, являются линейными. Если система содержит хотя бы одно нелинейное звено, то она является нелинейной. Линейное описание звеньев и систем является приближённым и описывает их поведение в отклонениях от установившегося режима.

Определим передаточные функции звеньев:

Определение передаточных функций системы по управляющему и возмущающему воздействиям и для ошибок регулирования

Передаточная функция замкнутой САР по управляющему воздействию определяет взаимосвязь между изменением регулируемой величины У и изменением задающего воздействия G:

где передаточная функция прямой цепи системы;

передаточная функция обратной связи системы.

Обычно мысленно размыкают главную обратную связь перед сравнивающим устройством.

Перед нахождением передаточных функций систему необходимо привести к одноконтурной, избавившись от перекрёстных связей и заменив звенья, охваченные местными обратными связями и соединённые параллельно, на эквивалентные.

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев определяется по формуле:

Передаточную функцию прямой системы найдём по формуле:

Анализ устойчивости системы

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после снятия воздействия, вызвавшего выход из установившегося режима.

Выходная величина устойчивой системы остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине воздействий.

Неустойчивая система является неработоспособной, поэтому проверка устойчивости является обязательным этапом анализа системы.

Условием устойчивости линейной системы является отрицательность действительной части корней характеристического уравнения системы. При нулевых корнях система находится на границе устойчивости. Поскольку решение уравнений высокого порядка сопряжено с определёнными трудностями, то анализ устойчивости линейных систем проводится по алгебраическим и частотным критериям. Наиболее часто используют алгебраический критерий Гурвица и частотные критерии Михайлова и Найквиста.

2.3.1 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КРИТЕРИЮ ГУРВИЦА

Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при все диагональные миноры определителя Гурвица были положительными .

Для анализа устойчивости воспользуемся основными условиями устойчивости. Так как , найдём значения диагональных миноров. Составим определитель Гурвица.

Определяем значения диагональных миноров.

Вывод: система неустойчива, так как не выполняется необходимое условие: положительность все коэффициентов характеристического уравнения.

2.3.2 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КРИТЕРИЮ МИХАЙЛОВА

Этот критерий устойчивости был предложен советским учёным А.В.Михайловым и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы на основании рассмотрения некоторой кривой.

где порядок характеристического уравнения.

Определим устойчивость САР:

В характеристическом уравнении для замкнутой системы вместо оператора подставим значение и получим:

где

Выделим вещественную и мнимую части.

Давая различные значения частоте , находим координаты и точек годографа Михайлова. Полученные данные заносим в таблицу 1 и строим по ним годограф.

Таблица 1 —Значения координат и точек годографа Михайлова

Вывод: система неустойчива, так как начинается на положительной полуоси и не проходит в положительном направлении 4 квадрата комплексной плоскости.

2.3.3 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КРИТЕРИЮ НАЙКВИСТА

Критерий устойчивости Найквиста основан на использовании амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы.

Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывала точку с координатами

Если система в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости (является астатической), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса против часовой стрелки до действительной полуоси, не охватывала точку с координатами ).

Если система в разомкнутом состоянии неустойчива, то для устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами в положительном направлении к/2 раз, где к – число корней характеристического уравнения с положительной действительной частью.

Определим устойчивость САР для нашего случая.

Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию имеет вид:

Находим частотную передаточную функцию, подставляя вместо :

Так как и т.д., получим:

Чтобы представить частотную передаточную функцию в виде комплексного числа имеющего действительную и мнимую части, умножим и разделим полученный результат на сопряжённое знаменателю комплексное число и после преобразования получим:

Вещественная часть частотной передаточной функции:

Мнимая часть частотной передаточной функции:

Найдём координаты точек, которые являются местом пересечения годографа с осью ординат. Для этих точек координата по оси абсцисс равна

Найдём координаты точек, которые являются местом пересечения годографа с осью ординат. Для этих точек координата по оси ординат равна нулю ( =0). То есть годограф пересекает ось , если числитель равен нулю, а именно:

Таблица 2 ― Значения координат и

Вывод: АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты w от 0 до ∞ охватывает точку с координатами (–1,j0), поэтому замкнутая система является неустойчивой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- измерение и контроль температуры в основных зонах печи;

- контроль разряжения в топке;

- регулировка расхода и контроль давления.

Произведен анализ современных технических средств автоматики и по полученным результатом выполнен подбор, описана конструкция и принцип действия датчиков для контроля и регулирования параметра. Составлена схема системы управления процессом выпечки хлеба и структурная схема системы. Выполнен анализ устойчивости системы по критериям Найквиста, Гурвица, Михайлова.

Схема автоматизированного технологического процесса имеет существенные преимущества перед неавтоматизированной, так как улучшается контроль за процессом.

Проведена проверка системы на устойчивость. Система оказалась неустойчивой по критериям Михайлова, Гурвица и Найквиста.

Повышение автоматизации технологических процессов в перерабатывающей промышленности является одним из важнейших условий для повышения качества выпускаемой продукции и закрепления ее на рынке.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: