|
|
Средняя арифметическая взвешенная.Методические указания Средней величиной называется обобщающая величина статистической совокупности, выражающая типический уровень изучаемого признака. Она выражает величину признака, отнесённую к единице совокупности. К степенным средним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя хронологическая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая. Средняя величина всегда обобщает количественную вариацию признака, т. е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия признака у отдельных единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. Средняя величина позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Принципы применения средних величин: 1) Необходим обоснованный выбор признака у единиц совокупности, для которого рассчитывается средняя. 2) При определении средней величины в каждом конкретном случае следует исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков и особенность имеющихся исходных данных; 3) Средняя величина должна, прежде всего, рассчитываться по однородной совокупности. Однородную совокупность позволяет получить метод группировки. 4) Общие средние должны подкрепляться групповыми средними. 5) Средняя величина не может быть меньше минимального значения и больше максимального значения признака в совокупности. Область применения и методика расчёта степенных средних величин: Средняя арифметическая 1.1 Средняя арифметическая простая. При небольшом объёме исходной информации, когда исходные данные не сгруппированы, применяется средняя арифметическая простая, где ΣXi - сумма значений; n- число значений. Например: В бригаде четверо рабочих в возрасте 21, 22, 23 и 24 года. Средний возраст рабочего бригады составляет Средняя арифметическая взвешенная. Когда исходные данные сгруппированы, то расчёт средней производится по формуле средней арифметической взвешенной: где fi – частота ряда распределения, с которой отдельные варианты встречаются в совокупности (или удельный вес отдельных значений во всей совокупности). Например: Рабочие бригады по возрасту распределились следующим образом:
Средний возраст рабочего бригады составляет Если исходная информация представлена в виде интервального ряда распределения, то средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле: где Xc - центральное (серединное) значение признака в интервале. Например: По имеющимся данным определить средний стаж рабочего бригады:
Для расчёта средней арифметической взвешенной интервального ряда распределения определим центральное (серединное) значение признака в каждом интервале. Среднее значение интервала находится как полусумма нижней границы данного интервала и нижней границы следующего интервала:
Оформим исходные данные а следующем виде:
Средний стаж рабочего бригады составляет Если в интервальном ряду распределения имеются «открытые» интервалы, то для установления центральных (серединных) значений «открытых» интервалов на каждый из них условно распространяется величина смежного «закрытого» интервала. Например: Работники организации по величине заработной платы за январь 2010 года распределились следующим образом:
Определить по имеющимся данным среднюю зарплату работников организации. Для расчёта средней арифметической взвешенной интервального ряда распределения определим центральное (серединное) значение признака в каждом интервале. На каждый открытый интервал условно распространим величину смежного закрытого интервала:
Частоты при расчете средних арифметических могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами – частостями Результаты применительно к одинаковым вариантам будут совпадать. В данном примере численность работников выражена не частотами, а частостями – удельными весами численности отдельных групп во всей совокупности, что не влияет на порядок расчёта средней. Средняя зарплата работников организации составляет: Необходимо небольшое пояснение применительно к расчету средней в интервальных рядах распределения. В действительности распределение отдельных вариантов в пределах интервала может оказаться неравномерным. В этом случае середина интервала будет в той или иной степени отличаться от фактической средней по интервалу. Это в свою очередь может повлиять на правильность общей средней, исчисленной по данным интервального ряда. Степень расхождения зависит от ряда причин. Во-первых, от числа вариант, чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Во-вторых, от величины интервала. Если интервал невелик, то ошибка будет незначительной, т.к. групповая средняя будет мало отличаться от середины интервала. В-третьих, от характера распределения. Чем симметричнее распределение, тем ошибка меньше. В-четвертых, размер ошибки зависит от принципа построения интервального ряда. При равных интервалах середина интервала будет ближе к средней по данной группе. При наличии открытых интервалов расхождение, как правило, взрастает из-за условного обозначения неизвестных границ. Общая средняя равна средней из частных (групповых) средних, взвешенных по численности соответствующих частей совокупности. Это правило имеет большое значение для всей статистики – организации сбора и обработки данных, их анализа. Свойства средней арифметической: 1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты. Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен за знак средней. 2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число: 3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз 4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится. Дело в том, что веса при исчислении средней арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений между группами по количеству единиц). Поэтому замена частот частостями не меняет значения средней. 5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю. Перечисленные свойства могут быть использованы для того, чтобы облегчить технику исчисления средней арифметической. Например. Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частостями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Иногда этот способ расчета средней арифметической также называется способом расчета от условного нуля. Широкое применение для обработки статистических материалов современных ЭВМ сужает необходимость исчисления средних по упрощенным схемам. Средняя гармоническая 2.2Средняя гармоническая простая. Если объёмы явлений, т.е. произведения Хi ×fi по каждой единице равны, то для расчёта средней применяется формула средней гармонической простой: Например: Две автомашины прошли один и тот же путь: первая со скоростью 60 км/ч, вторая со скоростью 80 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомашины. 2.2 Средняя гармоническая взвешенная. Учитывая, что средние выражают качественные свойства изучаемых явлений, важно правильно выбрать вид средней исходя из взаимосвязей явлений и признаков. Когда статистическая информация не содержит частот (fi ) у отдельных вариант (X), а представлена как их произведение Mi=(Xi × fi), то для расчёта средней применяется формула средней гармонической взвешенной: Например: По имеющимся данным о продаже хлеба «Дарницкий» определить среднюю цену одной булки хлеба
Средняя цена одной булки хлеба может быть определена делением общей суммы выручки от продажи хлеба на общее количество проданных булок Средняя цена одной булки хлеба составляет: Используя для расчёта средней цены формулу средней арифметической простой, получим Средняя гармоническая представляет собой обратную величину средней арифметической из обратных значений осредняемого признака. Если определить частоты ряда распределения, то можно использовать формулу средней арифметической взвешенной, но формула средней гармонической взвешенной позволяет избежать промежуточных расчётов. Средняя геометрическая 3.1 Средняя геометрическая простаяприменяется для характеристики средних темпов роста в рядах динамики с равноотстоящими уровнями и исчисляется по формуле: где Хi - цепной коэффициент роста уровня ряда динамики. n – число цепных коэффициентов роста в ряду динамики. 3.2 Средняя геометрическая взвешенная применяется для характеристики средних темпов роста в рядах динамики с неравноотстоящими уровнями и исчисляется по формуле: где fi – промежуток времени между датами. Средняя хронологическая 4.1 Средняя хронологическая простая Средний уровень моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями характеризует средняя хронологическая простая,котораяисчисляется по формуле: где Xi – значение уровня моментного ряда динамики; n – число уровней моментного ряда динамики. Например: По имеющимся данным определить средний товарный запас за первое полугодие
п=7 Средний товарный запас за полугодие составляет 
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
которая рассчитывается по формуле:
, шт
(1). Но количество проданных булок в каждом торговом павильоне неизвестно, его можно выразить, учитывая особенность исходных данных, делением суммы выручки от продажи хлеба на цену одной булки 
- формулу средней гармонической взвешенной
, что является неверным результатом, так как не учтено количество проданных булок.
