Объект регулирования (ОР)

Передаточная функция объекта регулирования

В соответствии с заданной структурной схемой объекта регулирования запишем его передаточную функцию:

После алгебраических преобразований получим:

Передаточная функция ОР в виде передаточных функций последовательно соединенных простейших линейных динамических звеньев.

Для представления передаточной функции ОР в виде передаточных функций последовательно соединенных простейших линейных динамических звеньев, разложим квадратный трехчлен на множители первой степени. Для этого сначала найдем корни квадратного трехчлена:

Затравка для нахождения первого корня -

Затравка для нахождения второго корня -

Следовательно, квадратный трехчлен в виде множителей первой степени будет выглядеть как:

Передаточная функция объекта регулирования:

или

Простейшие динамические звенья и их передаточные характеристики

Из вида передаточной функции следует, что объект регулирования эквивалентен последовательно соединенным безынерционному звену с коэффициентом передачи K=1 и двум апериодическим звеньям первого порядка с передаточными функциями и .

Частотные характеристики ОР

Раскроем скобки в знаменателе передаточной функции объекта регулирования и заменим p на jw, тогда:

Для определения амплитудно-фазовой характеристики умножим числитель и знаменатель в (1) на число комплексно-сопряженное знаменателю в (1). Это позволит избавиться от j в знаменателе и отделить в (1) действительную часть от мнимой.

После алгебраических преобразований получим:

Отделим мнимую часть от вещественной части:

Рисунок 1 – АФЧХ объекта регулирования

АЧХ будет определятся как:

Рисунок 2 - АЧХ объекта регулирования

ФЧХ находится из следующего выражения:

Рисунок 3 - ФЧХ объекта регулирования

Рисунок 4 - ЛАЧХ объекта регулирования

Рисунок 5 – ЛФЧХ объекта регулирования

Переходная характеристика объекта регулирования и определение коэффициентов ПИД-регулятора

Для построения откликов на входной сигнал во временной области, воспользуемся следующим интегральным соотношением:

Подставляя различные значения в выражение ниже, подберем значение верхнего предела интегрирования

Вычислим переходную характеристику и построим ее график.

Рисунок 6 – график переходной характеристики и ее линейной аппроксимации

Вспомогательные параметры, необходимые для вычисления коэффициентов ПИД-регулятора:

Регулятор (Р) и регулирующее устройство (РУ)

Передаточная функция РУ

В соответствии с заданной структурной схемой регулирующего устройства запишем его передаточную функцию:

Определение значений коэффициентов ПИД-регулятора

Коэффициент усиления ПИД регулятора и его постоянных времени по методу ZN при наблюдении отклика на задающее воздействие находятся так:

Передаточная функция ПИД-регулятора с определенными значениями:

Построение графиков частотных характеристик регулирующего устройства

При построении частотных характеристик регулирующего устройства поступим точно также, как и при построении частотных характеристик объекта регулирования. Необходимые для построения графиков выражения приведены ниже.

Заменим переменную “p” в передаточной функции регулирующего устройства на “jω” и избавимся от j в знаменателе с помощью функции collect:

График ЛАЧХ для регулирующего устройства:

Рисунок 7 - ЛАЧХ регулирующего устройства

График ЛФЧХ для регулирующего устройства:

Рисунок 8 - ЛФЧХ регулирующего устройства

Система автоматического регулирования (САР)

Необходимо записать общую передаточную функцию системы автоматического регулирования, которая будет состоять из передаточных функций объекта регулирования, регулирующего устройства и обратной связи.

Устойчивость САР

Сначала исследуем запасы устойчивости системы автоматического регулирования в разомкнутом виде.

Разомкнутая система представляет собой последовательное соединение ОР и РУ, поэтому ее передаточная функция будет определяться как . Запишем передаточную функцию разомкнутой САР:

Заменим в передаточной функции разомкнутой системы автоматического регулирования “p” на ‘jω”:

Разделим на вещественную и мнимую составляющие:

3.2. Частотные характеристики разомкнутой САР:

Для определения устойчивости системы построим её АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Ø АФЧХ САР

Рисунок 9 - АФЧХ разомкнутой САР

По критерию устойчивости Найквиста делаем вывод, что наша система автоматического регулирования является устойчивой, так как график АФЧХ не охватывает точку (-1; j0).

Ø Построение ЛАЧХ, определение частоты среза

Рисунок 10 – ЛАЧХ разомкнутой САР

Частота среза

Ø Построение графика ЛФЧХ, определение запаса устойчивости по фазе

Рисунок 11 - ЛФЧХ разомкнутой САР

Из полученных графиков видно, что САР устойчива. Запас устойчивости по фазе ,

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: