Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости

Справочные материалы Аналитическая геометрия

Вектора

= (x₂–x₁; y₂–y₁; z₂–z₁)

Длина вектора

или

Направляющие косинусы вектора

Единичный вектор

Орт вектора

Скалярное произведение	Векторное произведение	Смешанное произведение
Число × = ï ïï ïcosj	Вектор ´ =	Число
Свойства: 1) × = ï ï²; 2) × = 0, если ^ ; 3) × = × ;	Свойства: 1) ; 2) , если ïï	Свойства: 1) 2) 3) , если вектора компланарны
Приложения: Угол между векторами Проекция вектора на вектор	Приложения: Площадь параллелограмма	Приложения: Объем параллелепипеда и пирамиды V = V_пир =

Прямая на плоскости

Основные типы уравнений прямых на плоскости

Название	Уравнение	Что дано	Иллюстрация
Общее	Ах + Ву + С = 0		Коэффициенты А и В – координаты нормального вектора
С угловым коэффициентом		угловой коэффициент k или угол наклона α	– угловой коэффициент, b – ордината точки пересечения прямой с осью ОУ
В данном направлении		, угловой коэффициент k или угол наклона α
Через две точки
В отрезках		Прямая отсекает на координатных осях отрезки a и b
Перпендикулярно вектору			– нормальный вектор
Каноническое			– направляющий вектор
Полярное		р – расстояние от начала координат до прямой, – угол отклонения перпендикуляра р от координатной оси
Нормальное		р – расстояние от начала координат до прямой, – угол отклонения перпендикуляра р от оси ОХ	Нормирующий множитель (общее→нормальное)

Основные задачи на плоскости

1. Расстояние между точками и

2. Площадь треугольника с вершинами в точках , ,

3. Деление отрезка в данном отношении λ

4. Угол между прямыми и

5. Параллельность и перпендикулярность прямых

6. Расстояние от точки до прямой

: Ах + Ву + С = 0

Основные виды кривых второго порядка на плоскости

Название кривой	Вид уравнения	Основные сведения о кривой	Вид кривой
Окружность		R – радиус Центр в точке
Эллипс		a – большая полуось, b – малая полуось Вершины эллипса А(а; 0), А’(–a; 0), В(0; b), В’(0; –b) с – фокусное расстояние, Фокусы F₁(c; 0), F₂(–c; 0) e – эксцентриситет,
Гипербола		a – действительная полуось, b – мнимая полуось Вершины гиперболы А(а; 0), А’(–a; 0), с – фокусное расстояние, Фокусы F₁(c; 0), F₂(–c; 0) e – эксцентриситет, Асимптоты
Парабола		р – параметр параболы ОХ – ось симметрии Фокус F(р/2; 0) Директриса y = –p / 2
	р – параметр параболы ОУ – ось симметрии Фокус F(0; р/2), Директриса y = –p / 2

Уравнение всегда определяет:

– окружность, при А = С,

– эллипс, при АС>0,

– гиперболу, при АС<0,

– параболу, при АС = 0.

При этом возможны случаи вырождения:

– для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность);

– для гиперболы – в пару пересекающихся прямых;

– для параболы – в пару параллельных прямых.

Прямая и плоскость в пространстве

Основные типы уравнения плоскости в пространстве

Название уравнения	Вид уравнения	Что дано	Примечание
Общее уравнение плоскости			– нормальный вектор плоскости или нормаль
Уравнение плоскости, проходящее через заданную точку, перпендикулярно данному вектору		, нормаль .	– произвольная точка
Уравнение плоскости, проходящей через три точки			– произвольная точка
Уравнение плоскости в отрезках		а – по Ox, b – по Оу, с – по Оz. Отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат
Нормальное уравнение плоскости		р – расстояние от начала координат до плоскости – углы, образованные вектором с осями Ox, Oy, Oz.	– единичный вектор, направленный по перпендикуляру ОК = р, опущенному на плоскость из начала координат

Основные типы уравнения прямой в пространстве

Название уравнения	Вид уравнения	Что дано	Примечание
Общее уравнение прямой			и – нормали пересекающихся плоскостей
Векторное уравнение прямой		, направляющий вектор , параллельный прямой	произвольная точка на прямой, , .
Параметрическое уравнение прямой		, направляющий вектор , параллельный прямой	– параметр
Канонические уравнения прямой		, направляющий вектор , параллельный прямой
Уравнение прямой, проходящей через две точки