Сделай Сам Свою Работу на 5

Гиперболический параболоид





Поверхности вращения

Определение 82

Будем говорить, что поверхность второго порядка является поверхностью вращения в некоторой системе координат она задается уравнением , где является алгебраическим многочленом второго порядка относительно . Можно показать, что в этом случае уравнение имеет вид .

Замечание

Все эти поверхности получаются вращением кривой в плоскости вокруг оси . Таким образом поверхность вращения полностью определяется кривой второго порядка в плоскости .

Напишем канонические уравнения некоторых поверхностей вращения:

- эллипсоид

- вырожденный эллипсоид

- однополостный гиперболоид

- конус

- двуполостный гиперболоид

- параболоид

- цилиндр

- вырожденный цилиндр

Пусть есть поверхность второго порядка и плоскость. Рассмотрим их пересечения. Введем систему координат так, чтобы уравнение плоскости записывалось . Пусть в этой системе координат уравнение поверхности В сечении плоскостью получаем . Если , то это кривая второго порядка. Если , то в сечении получается кривая . При это прямая. При получаем плоскость . При точек пересечения нету. Таким образом получаем, что плоскость может пересекать поверхность по кривой второго порядка, по прямой, по плоскости и может не иметь общих точек. Рассмотрим отдельно случай, когда плоскость пересекается поверхность второго порядка по плоскости. В выбранной ранее системе координат уравнение поверхности имеет вид



Эллипсоид сечении получается кривая Если ние поврехности к, чтобы уравнение плоскости записывалось ЭллЭЭлвЭлавв

Определение 83

Поверхность, записанная в некоторой системе координат уравнением называется эллипсоидом. Это уравнение и система координат называются каноническими. Иногда требует, чтобы

Свойства

1) Эллипсоид обладает единственным центром симметрии. Центром симметрии является точка .

2) Координатные плоскости являются плоскостями симметрии.

3) Координатные оси являются осями симметрии.

4) Эллипсоид является ограниченным телом. Он заключен в параллелепипед

Сечение плоскостью . При получаем в сечении эллипс

При получаем вырожденный эллипс



При точек пересечения нет

Аналогично рассматриваются сечения плоскостями и .

Сечение произвольной плоскостью . Будем считать без ограничения общности, что .

и в сечении получим кривую, проекция которой на плоскость описывается уравнением

Вычислив инварианты, легко видеть, что это эллиптическое уравнение и возможны случаи, когда это эллипс, вырожденный эллипс и мнимый эллипс. Только у эллиптических кривых при проектировании на плоскость может получиться эллиптическая кривая.

Однополостный гиперболоид

Определение 84

Поверхность, задающаяся в некоторой декартовой системе координат уравнением называется однополосным гиперболоидом.

Свойства

1) Однополосный гиперболоид не является ограниченной поверхностью.

2) Начало координат является центром симметрии этой поверхности.

3) Координатные плоскости являются плоскостями симметрии поверхности.

Рассмотрим честь сечений поверхности.

1) Плоскость пересекает поверхность по эллипсу (это уравнение кривой второго порядка на плоскости, которая является проекцией эллипса на плоскость ).

2) Плоскость пересекает поверхность по кривой, проекция которой на плоскость записывается уравнением

Плоскость пересекает поверхность по гиперболе .

Плоскость , где пересекает поверхность по гиперболе, проекция которой на описывается уравнением

Плоскость , где пересекает поверхность по кривой, проекция которой на плоскость описывается уравнением . Это уравнение двух пересекающихся прямых. Значит сечение является пересекающимися прямыми. Плоскость , или пересекает поверхность по гиперболе, уравнение проекции которой на плоскость описывается уравнением



Аналогично для плоскости .

Рассмотрим сечение плоскостью . Эта плоскость пересекает поверхность по кривым, проекции которых на плоскость описываются уравнениями . Это пара параллельных прямых. Поэтому сечение тоже является парой параллельных прямых: и .

Рассмотрим сечение плоскостью . Эта плоскость пересекает поверхность по кривой, проекция которой на плоскость описывается уравнением . Это парабола.

В сечении может получиться эллипс, гипербола, пара пересекающихся прямых, пара параллельных прямых и парабола.

Двуполостный гиперболоид

Определение 85

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением называется двуполостным гиперболоидом.


Свойства

1) Однополосный гиперболоид не является ограниченной поверхностью.

2) Начало координат является центром симметрии этой поверхности.

3) Координатные плоскости являются плоскостями симметрии поверхности.

4) Так как сечение плоскости не содержит ни одной точки, то поверхность распадается на две части.

Рассмотрим некоторые сечения.

Плоскость . В сечении получается кривая второго порядка, задаваемая уравнением . Этому уравнению не удовлетворяет ни одна точка плоскости , значит сечение не содержит ни одной точки. Аналогично сечение поверхности плоскостью не содержит ни одной точки.

Пересечением с плоскостью , где является вырожденный эллипс .

Пересечением с плоскостью является эллипс, проекция которого на плоскость описывается уравнением .

Пересечением поверхности плоскостью является гипербола, проекция которой на плоскость описывается уравнением . Пересечением поверхности плоскостью является гипербола, проекция которой на плоскость описывается уравнением или .

Легко видеть, что плоскость не имеет общих точек с поверхностью.

Плоскость пересекает поверхность по кривой, проекция которой описывается уравнением . Это парабола.

Эллиптический параболоид

Определение 86

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением называется эллиптическим параболоидом.

Свойства

1) Поверхность не является ограниченной.

2) Поверхность не имеет центров симметрии.

3) Поверхностей симметрична относительно плоскостей и .

Рассмотрим часть сечений поверхности плоскостями.

Плоскость не имеет общих точек с поверхностью. Плоскость пересекает поверхность в одной точке, описываемой в плоскости уравнением . Плоскость пересекает поверхность по кривой, проекция которой на плоскость описывается уравнением . Проекцией является эллипс, значит и в самом сечении эллипс.

Плоскость пересекает поверхность по параболе, проекция которой на плоскость в плоскости описывается уравнением . Аналогично для плоскости .

Гиперболический параболоид

Определение 87

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением называется гиперболическим параболоидом.

Свойства

1) Поверхность не является ограниченной.

2) Данная поверхность не имеет центра симметрии.

3) Данная поверхность симметрична относительно координатных плоскостей и .

Рассмотрим часть сечений поверхности плоскостями.

Плоскость пересекает поверхность по паре пересекающихся прямых (уравнение в плоскости ). Плоскость пересекает поверхность по гиперболе, проекция которой на плоскость в плоскости описывается уравнением . Плоскость пересекает поверхность по гиперболе, проекция которой на плоскость в плоскости описывается уравнением .

Плоскость пересекает поверхность по параболе, проекция которой на плоскость в плоскости описывается уравнением . Это одинаковые параболы, полученные друг из друга параллельным переносом.

В сечение плоскостью получается плоскость . Это плоскость .

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.