Понятие минораи алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы. Торема Лапласа о разложении определителя по строке.
Пониятие матрицы. Виды матриц.
Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины).
a11 a12 … an1
A= a21 a22 … an2
… … … …
am 1 am2 … amn
a1i a2i …ain-i=1,m – i-тая строка
a1j a2j … amj-j= 1,n – j-тый столбец
Элементы, стоящие по диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ; из верхнего правого – побочную.
Матрицы равны между собой, если равны их соответствующие элементы.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.
Матрица размера n·n - матрица n-го порядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю – диагональная.
Диагональная матрица у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, единичная.
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Матрица, все элементы которой равны нулю, - нулевая.( обозначается буквой О)
Матрица, содержащая один столбец или одну строку – вектор.
Умножение матрицы на число, сложение матриц. Свойства этих операций
Пусть задана матрица А=aij i=1,m; j=1,n; α принадлежит R. Чтобы умножить матрицу А на число α, нужно кадый Эл-т матрицы умножить на это число α .
С=(αaij)
Сложение матриц
Пусть заданы А=aij и В=bij одинаковой размерности i=1,m; j=1,n. Тогда суммой двух этих матриц называется матрица С=сij. Другими словами, нужно сложить соответствующие эл-ты. Кратко: С=А+В
Св-ва:
1. А+В=В+А
2. А+(В+С)=(А+В)+С
3. А+0=А
4. А-А=0
5. 1·А=А
6. α·(А+В)=αА+αВ
7. (α+β)·А=αА+βА
8. α·(βА)=(βα)·А
Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.
2 матр А и В соглас-е, если число строк матр А равно числу столбцов матр В, и наоборот.
Оп-ция умн-я матриц определена только для соглас. матриц.
Кв матрицы одного и того же порядка и одной и той же размерности всегда согласованны.
Пусть задана матр А=aik i=1,m; k=1,n и матр В=bkj k=1,m; j=1,n. Тогда произв-ем А на В наз. матр С такая, что сik=ai1·b1k+ ai2·b2k +…+ ain·bnk, где i=1,m; k=1,n, т.е. эл-т i-той строки и k-того столбца матрицы произв-ия С равен ∑ произв-ий эл-ов i-той строки матр А на соответствующие эл-ты k-того столбца матр В.
Если выполняется равенство АВ=ВА, то матрицы А и В наз. перестановочными (коммутирующими)
Матр,получ. из данной заменой кажд ее строки столбц с тем же номером,наз. транспон-ой к данной.
Св-ва умножения:
1.А·(ВС)=(АВ)С
2. А(В+С)=АВ+ВС
3. (А+В)С=АС+ВС
4. α(АВ)=(αА)В
Св-ва транспонирования:
1.(А+В)т=Ат+Вт
2. (АВ)т=В·Ат
3. (Ат) т= А
Квадратная матрица А, которая не меняется при транспонировании, - симметричная.
Если матрица симметрична, то эл-ты, равноудаленные от главной диагонали, совпадают.
А= 2 5 -2
5 -7 3
-2 3 1
Транспонирование матриц. Свойства операции транспонирования.
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как .
Например,
и
То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.
Свойства транспонированных матриц
·
Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
·
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
·
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
·
При транспонировании можно выносить скаляр.
·
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Определители квадратных матриц первого, второго и третьего порядка.
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A, называемое ее определителем следующим образом:
1. n=1. A=(a1); det A=a1
2. n=2.
3. n=3.
Свойства определителей.
1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то det
этой матрицы равен 0
2)При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: (detА =detА')
3) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её
определитель меняет свой знак на противоположный
4) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0.
5)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её det равен 0.
6) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки (или столбца) прибавить элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число
7) Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя
8) Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,
Доказательство – проверкой.
9) det верхней треуг. матрицы = произведению диагональных эл-тов.
10) det A*B=detA*detB
Понятие минораи алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы. Торема Лапласа о разложении определителя по строке.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|