Параметрические уравнения линий

Цели

Знать:

v Основные способы преобразования прямоугольных координат;

v уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям.

Уметь:

v переходить от одной прямоугольной системы координат к другой;

v строить параллельно-смещённую кривую второго порядка по её уравнению.

Уравнения смещённых кривых второго порядка имеет вид:

— эллипс;

— гипербола,

где (х₀; у₀) — координаты центра кривой.

Уравнения смещённой параболы:

,

,

,

где (х₀;у₀) — координаты вершины параболы.

Теорема. Уравнение вида

всегда определяет:

• окружность (при А=С),
• эллипс (при ),
• гиперболу (при ),
• параболу (при ).

При этом возможны случаи вырождения:

• для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность),
• для гиперболы — в пару пересекающихся прямых,
• для параболы — в пару параллельных прямых.

Пусть относительно системы декартовых прямоугольных координат на плоскости задана некоторая линия. Эту линию можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки М(х; у) изменяется по закону x=x(t), а ордината — по закону y=y(t),где t — параметр, то уравнение линии записывается в виде:

(38)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями линии.

Составить уравнение линии на плоскости в выбранной системе координат — это, значит, составить такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек, которые на этой линии не лежат.

Постановка задачи:Составить уравнение линии на плоскости.

План решения:1. Выбрать на плоскости систему координат;

2. на линии, уравнение которой выводится, взять произвольную точку с координатами (х; у). Основываясь на заданном свойстве всех точек, лежащих на линии, составить уравнение, связывающее координаты произвольной точки с некоторыми постоянными величинами, данными в задаче. Найденное уравнение и будет искомым.

№13. Даны точка А(1; 0) и прямая х=2. В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка М(х; у) которой:

1) в два раза ближе к точке А, чем к данной прямой;

2) в два раза дальше от точки А, чем от заданной прямой;

3) равноудалена от точки А и от прямой х=2.

► 1) Пусть М — точка искомой линии (рис 13).

рис.13

По условию 2МА=МN.Отсюда, так как N(2; y), то

;

;

4х² – 8х+4+4у²=х² – 4х+4;

3х² – 4х+4у²=0;

;

;

;

домножим на , имеем:

— уравнение эллипса, который смещён относительно системы координат XОY, таким образом, что центр эллипса находится в точке , точка А — совпадает с правым фокусом, х=2 — правая директриса.

2) По условию МА=2МN. Отсюда, так как N(2; y), то

;

х² – 2х+1+у²=4х² – 16х+16;

3х² – 14х – у²+15=0;

;

;

домножим данное выражение на , имеем:

— уравнение гиперболы, которая смещёна относительно системы координат XОY, таким образом, что центр гиперболы находится в точке , точка А совпадает с её левым фокусом, х=2 — левая директриса.

3) По условию МА=МN. Отсюда, так как N(2; y), то

;

х² – 2х+1+у²=х² – 4х+4;

у²= –2х+3;

— уравнение параболы, которая смещёна относительно системы координат XОY, таким образом, что вершина находится в точке , точка А совпадает с фокусом, прямая х=2 — директриса. ◄

Аудиторные задания

Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:

№84. 9х²+4у² – 54х – 32у+109=0.

Ответ: .

№85.х² – у² – 4х+2у+7=0.

Ответ: .

№86.х² – 9у²+2х – 36у – 44=0.

Ответ: .

№87.у=х²+4х+5.

Ответ: (х+2)²=у – 1.

Построить линию, заданную параметрическими уравнениями:

№88. Ответ: эллипс.

№89. Ответ: астроида.

Домашние задания

Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:

№90.4х²+9у² – 8х – 36у+4=0.

Ответ: .

№91.х² – 9у²+2х+36у – 44=0.

Ответ: .

№92.у=х² – 5х+7.

Ответ: .

№93.х²+4у² – 4х – 8у+8=0. Ответ: О(2; 1).

№94.х²+4у²+8у+5=0. Ответ: мнимый эллипс.

№95.х² – у² – 6х+10=0.

Ответ: у² – (х – 3)²=1.

№96.х² – 6х+8=0.

Ответ: х=2; х=4.

№97.х²+2х+5=0. Ответ: мнимые прямые.

Построить линию, заданную параметрическими уравнениями:

№98. Ответ: парабола у²=9х.

№99. Ответ: гипербола .

№100. Ответ: гипербола.

№101.

Ответ: отрезок прямой, соединяющий точки А(1; 0) и В(0; 1).

Дополнительные задания

Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:

№102.36х²+36у² – 36х – 24у – 23=0.

Ответ: .

№103. .

Ответ: .

№104.16х²+25у² – 32х+50у – 359=0.

Ответ: .

№105.у=4х²+8х+7. Ответ: 4(х+1)²=у – 3.

Построить линию, заданную параметрическими уравнениями:

№106.

Ответ: луч, направленный по биссектрисе первого координатного угла.

№107. Ответ: дуга параболы.

№108.

№109.

№110.

№111.

Занятие 5

Полярная система координат

Цели

Знать:

v Связь между полярной и прямоугольной системой координат;

v уравнения основных линий в полярной системе координат.

Уметь:

v Схематически строить линию в полярной системе координат.

Cвязь между полярными и прямоугольными координатами точки устанавливается формулами:

(39)

при этом полюс полярной системы координат О совмещен с началом координат системы XOY, а полярная ось — с положительной полуосью ОX (рис.14).

рис.14

Переход от декартовых координат к полярным координатам:

; ;

; ; . (40)

Аудиторное задание

Выполнить лабораторную работу «Построение линий в полярной системе координат».

Цель работы: приобретение навыков построения линий по уравнению в полярной системе координат.

Задание и общие указания

1. Все вычисления оформляются на расчетном листе;
2. кривые строятся на миллиметровой бумаге;
3. при расчётах используется МК.

Инструкция к работе

№1. Построить точки в полярной системе координат:

► Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, отрицательные значения откладываются не на луче, наклонённом к полярной оси под углом , а на его продолжении за полюс (т.е. на луче, образующем с полярной осью угол ) (рис.15). ◄

рис.15

№2. Построить линии: а) ; б) ;

в) .

Провести краткое исследование формы кривой по уравнению: 1) симметрия кривой;

2) область существования кривой;

3) для построения линий в полярных координатах составить таблицу значений и ,где , выбрав шаг (n — коэффициент перед в уравнении линии).

► а) — данная линия окружность.

1) Линия симметрична относительно прямой ;

2) , достаточно рассмотреть ;

3) Составим таблицу с шагом :

		–2	–	–4	–	–2

По данным таблицы построим искомую линию (рис.16).

рис.16

б) — данная линия кардиоида.

1) линия симметрична относительно полярной оси;

2) , достаточно в виду симметрии кривой;

3) составим таблицу с шагом :

		1,86	1,5		0,5	0,14

По данным таблицы построим искомую линию (рис.17).

рис.17

в) или — данная линия лемниската Бернулли.

1) линия симметрична относительно полюса О;

2) ; ;

3) составим таблицу с шагом :

								…
		0,7	0,9		0,9	0,7		…

	…
	…		0,7	0,9		0,9	0,7

По данным таблицы построим искомую линию (рис.18).

рис.18◄

№3. Записать уравнения линий, заданных в п.2, в декартовой системе координат.

► Используя формулы перехода от полярной системы координат к декартовой (40) имеем:

а) ;

;

х²+у²=4у;

х²+(у – 2)²=4 — уравнение смещённой окружности.

б) ;

;

— уравнение кардиоиды.

в) ;

;

;

(х²+у²)²=2ху — уравнение лемнискаты Бернулли. ◄

№4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:

а) у²=16+8х; б) .

►а) — уравнение параболы;

б) ;

;

— уравнение кардиоиды. ◄

Вариант 1

1. Построить точки: .
2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

1. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
2. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .

Вариант 2

1. Построить точки: .
2. Построить линии: 1) ; 2) ; 3) .
3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .

Вариант 3

1. Построить точки: .
2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

1. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
2. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) у=8х.

Вариант 4

1. Построитьточки: .
2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

1. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
2. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .

Вариант 5

1. Построить точки: .
2. Построить линии: 1) ; 2) ; 3) .
3. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .

Вариант 6

1. Построить точки: .
2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

1. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
2. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:

1) ; 2) х² – 3у² – 6х=0.

Вариант 7

1. Построить точки: .
2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

1. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
2. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:

1) ; 2) .

Вариант 8

1. Построить точки: .
2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

1. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
2. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ;

2) .

Вариант 9

1.Построить точки: .

2.Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

3.Записать в декартовых координатах уравнения п.2.

4.Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:

1) ; 2) .

Вариант 10

1. Построить точки: .
2. Построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

1. Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
2. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .

Домашние задания

№112.В полярной системе координат построить точки: А(2; 0); В ; С ; D ; E ; F ; G ; K ; L ; M .

№113.Написать в полярных координатах уравнения линий:

1) ; 2) у – 2х=0; 3) х²+у²=2а у.

№114.Построить линии: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

№115.Написать в декартовых координатах уравнения линий и построить линии: 1) ; 2) ;

3) .

Дополнительные задания

№116.Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах. Записать в декартовых координатах: 1) ;

2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) .

№117.Составить в полярных координатах уравнения следующих линий:

1) прямой, перпендикулярной к полярной оси и отсекающей на ней отрезок, равный 3;

2) прямых, параллельных полярной оси и отстоящих от неё на расстоянии 5;

3) окружности R=4 с центром на полярной оси и проходящей через полюс;

4) окружностей радиусом R=3, касающихся полярной оси в полюсе.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Кривые второго порядка»

Задание 1.Составить канонические уравнения:

а) эллипса, большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке ;

б) гиперболы с мнимой полуосью, равной 2, и фокусом ;

в) параболы, имеющей директрису х= –3.

►а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию большая полуось, а=3, с= . Для эллипса: c²=a² – b², следовательно, b²=3² – =4. Искомое уравнение: ;

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию мнимая полуось b=2, c= . Для гиперболы: c²=a²+b², следовательно, а²=с² – b²= – 2²=9. Искомое уравнение гиперболы: .

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид у²=2 р х, уравнение её директрисы , но по условию задачи уравнение директрисы х= – 3, поэтому ; р=6. Искомое каноническое уравнение параболы имеет вид: у²=12х. ◄

Задание 2.Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса х²+4у²=4 и имеющей центр в его верхней вершине.

► Для данного эллипса верхняя вершина А(0; 1), а=2, b=1. Поэтому с= = = . Таким образом, фокусы находятся в точках F₁(– ;0), F₂( ;0).

Радиус искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между двумя точками:

R=|AF₁|=|AF₂|= = =2.

В соответствии с уравнением (15) записываем искомое уравнение окружности:

(х – 0)²+(у – 1)²=2² или х²+(у – 1)²=4.◄

Задание 3.Составить уравнение линии, каждая точка М которой отстоит от точки А(3; 2) на расстоянии, в три раза большем, чем от точки В(–1; 0).

► Пусть М(х; у) — любая точка искомой линии (рис.19).

рис.19

Тогда по условию задачи |AM|=3|BM|. Т.к. |AM|= , |BM|= , то уравнение искомой линии:

=3 .

Преобразуем его, возведя обе части в квадрат. Имеем:

х² – 6х+9+у² – 4у+4=9х²+18х+9+9у²,

8х²+24х+8у²+4у – 4=0.

Выделив полные квадраты в последнем уравнении, придём к уравнению вида:

,

которое является уравнением окружности с центром в точке и радиусом R= . ◄

Задание 4.Построить кривую, заданную уравнением в полярных координатах .

► Составим таблицу, в которой приведены значения полярного угла и соответствующие им значения полярного радиуса :

			0,6				7,4
	1,2		1,2		6,8		6,8
	0,6				7,4

Построив найденные точки в полярной системе координат и соединив их плавной линией, получим кардиоиду. ◄

Задание 5. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями:

► Выберем достаточное количество значений параметра t, вычислим соответствующие значения х, у. Построим соответствующие точки в декартовых координатах. Соединим их плавной линией. Очевидно, что полученная кривая является эллипсом с полуосями а=3, b=2 и центром в точке С(1; 2). Для строго доказательства того, что данные параметрические уравнения определяют эллипс с указанными осями и центром, избавимся от параметра t:

Возведём в квадрат оба уравнения системы и сложим их, откуда

. ◄

Контрольные вопросы

Метод координат на плоскости

1. В каких четвертях могут быть расположены точки М(х; у), если:

a) x y>0;

b) x y<0;

c) y=0;

d) x – y>0;

f) x+y=0?

2. Точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) служат смежными вершинами ромба, диагонали которого параллельны осям координат. Как выразить координаты остальных вершин через координаты данных точек?

3. Как расположены точки, имеющие одну и ту же проекцию на ось ОХ ? на ось ОY?

Уравнения прямой на плоскости

1. Проходит ли прямая 3х – 2у=0 через: а) начало координат; б) вторую четверть?
2. Всякая ли прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением вида: а) ax+by+c=0; б) y=kx+1?
3. Верно ли, что уравнение ax+by+c=0 всегда является уравнением некоторой прямой?
4. При каких значениях p прямая

а) параллельна оси OY; б) проходит через начало координат?

1. Может ли угол наклона прямой к оси ОX равняться:

а) ; б) ?

1. При каком значении k прямая y=kx+b:

а) параллельна оси ОX; б) под углом ?

1. 7. При каком значении b прямая y=kx+b: а) проходит через начало координат; б) пересекает ось в точке с ординатой –5?
2. Какой геометрический смысл имеют коэффициенты k и b в уравнении y=kx+b?
3. Верно ли, что прямые y=3x – 2 и y= –3x+2:

а) параллельны; б) перпендикулярны?

1. Что можно сказать об угловых коэффициентах:

а) пересекающихся прямых; б) параллельных прямых?

1. Каково взаимное расположение двух прямых:

а) имеющих одинаковые угловые коэффициенты и общую точку; б) угловые коэффициенты которых не равны.

1. Доказать, что условие принадлежности трёх точек М₁(х₁; у₁), М₂(х₂; у₂), М₃(х₃; у₃)одной прямой можно записать в виде .
2. Какова должна быть зависимость между коэффициентами А и В, чтобы прямая Ax+By+C=0 была отклонена к оси ОX под углом ?
3. При каком значении k прямая x+y+k²-2k+1=0 проходит через начало координат?
4. Прямая y=3x+b пересекает ось ОX в точке с абсциссой а=4. Чему равен параметр b?
5. Является ли уравнение уравнением прямой в отрезках? Какие отрезки отсекает она на осях координат?
6. Можно ли подобрать коэффициенты и так, чтобы прямые 5х – 3у+1=0 и совпадали?
7. Какой угол образует прямая с положительным направлением оси ОY? оси ОX?
8. Какая должна быть зависимость между коэффициентами a и b, чтобы прямая образовывала с осью ОY угол
9. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a и b, чтобы прямые ax+by+1=0, x – y+5=0и y=1 проходили через одну точку?
10. При каком значении α прямые и взаимно перпендикулярны?

Кривые второго порядка

1. Какие из следующих уравнений являются уравнениями эллипсов: а) ; б) ;

в) ; г) ; д.) ;

е.) ?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: