Сделай Сам Свою Работу на 5

Кривые, заданные параметрически





ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Всякой линии L на плоскости XOY соответствует некоторое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными x и y . Это уравнение линии L.

 

Прямая линия на плоскости

Прямая линия задается уравнением первой степени относительно x и y.

. (6)

Это общее уравнение прямой . Здесь коэффициенты А и В есть координаты нормального вектора (рис. 21).

Существуют другие виды уравнения прямой . Так, решив уравнения (6) относительно у , получим (если ): Это уравнение прямой c угловым коэффициентом.
у

 

b

 

 

О х

Рис. 21

Здесь - угловой коэффициент прямой, b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси OY (рис. 21).Если С 0, то уравнение (6) можно записать в форме

. Здесь а и b - величины отрезков, которые прямая отсекает на осях ОХ и OY (рис. 21).

Если прямая проходит через две заданные точки и , то ее уравнение имеет вид .

Пример. Прямая проходит через точки и . Написать ее уравнение, найти угловой коэффициент и отрезки, которые она отсекает на осях координат.

Решение. - oбщее уравнение прямой. Отсюда следует, что или - уравнение прямой с угловым коэффициентом. Здесь . Из уравнения . Итак, а=11, b= .



Если прямые и пересекаются в точке М (рис. 22), то угол поворота от и определяется по формуле

 
 


. (7)

 
 
В частности, если , то и . Если же , то . Из формулы (7) следует, что или .  


у

 

М

 

 

О х

Рис. 22

 

Пример. Найти угол между прямыми и .

Решение. Так как .

Так как . .

Кривые второго порядка

Так называются линии, которые описываются уравнениями второй степени относительно х и у. К ним относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

1. Окружность

- каноническое уравнение, х, у – текущие координаты окружности, О – центр окружности, r – радиус окружности.
у

 

О х

 

2.

- каноническое уравне-ние , а – большая полуось эллипса, b – малая полуось. - фокусы эллипса. Величины а, b, с связаны формулой .
Эллипс

у

 

b a

 

О c х

 

3.

-каноническое уравнение, а – действительная полуось, b - мнимая полуось, - фокусы гиперболы, - уравнения асимп-тот; величины связаны формулой .
Гипербола



 

Y

 

b c

 

O a x

 

 

- каноническое уравнение, - параметр параболы, О – вершина параболы, - фокус параболы. Прямая -директриса. Уравнение : . Если изменить расположение кривой относите-льно системы координат, то изменится и урав-нение кривой, которое уже не будет каноническим. При этом возможны следующие случаи:
4. Парабола

y

 

N O F

x

 

 

Центр кривой перенесен в точку без изменения направления осей симметрии. Уравнения полученных кривых называют нормальными.

y y

O x O x

y y

 

 

 

O x

Полярная система координат

Она задается полярной осью ,на которой указаны начало отсчета О и единица

масштаба (рис.23).

у

y

O O

1 x

Рис. 23 Рис. 24

В полярной системе всякая точка М имеет две координаты: расстояние от полюса О до точки М, то есть , и угол , который образует радиус-вектор с осью . Числа называются полярными координатами точки М. Они изменяются в границах , .

Если полярную систему координат естественным образом совместить с декар-

товой системой XOY (рис. 24), то . Это формулы, с помощью которых можно перейти от декартовых координат к полярным. Из этих формул следует, что . Таким образом, полярные координаты выгодны в тех случаях, когда уравнение линии содержит выражение .

 

Пример. Уравнение кривой записать в полярных координатах.

Здесь .

Поэтому . Эта кривая называется лемнискатой Бернулли (рис. 25).

 
 

 

 


О О

 

 

Рис. 25 Рис. 26

 

 

Пример. Построить кривую . Эта кривая называется кардиоидой (рис. 26). Строим таблицу значений, придавая аргументу значения с постоянным шагом .



 

1,7а а 0,3а

 

В обобщенной полярной системе координат допускаются отрицательные значения полярного радиуса . В этой системе , . При этом точки строятся симметрично относительно полюса О. Например, из уравнения лемнискаты следует, что .

Здесь . Строим таблицу значений.

- - -

Уравнению соответствует та часть лемнискаты, которая расположе-на в первой и четвертой четвертях, а уравнению - во второй и треть-ей четвертях.

Кривые, заданные параметрически

Линию L на плоскости XOY можно рассматривать как траекторию движущейся точки М (х,у) . При этом ее координаты х и у изменяются в зависимости от некоторого параметра t. Обычно в качестве параметра t выступает либо время движения, либо угол поворота. Таким образом, параметрические уравнение линии L имеют вид .

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.