|
Кривые, заданные параметрически
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Всякой линии L на плоскости XOY соответствует некоторое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными x и y . Это уравнение линии L.
Прямая линия на плоскости
Прямая линия задается уравнением первой степени относительно x и y.
. (6)
Это общее уравнение прямой . Здесь коэффициенты А и В есть координаты нормального вектора (рис. 21).
Существуют другие виды уравнения прямой . Так, решив уравнения (6) относительно у , получим (если ):
Это уравнение прямой c угловым коэффициентом.
| | у
b
О х
Рис. 21
Здесь - угловой коэффициент прямой, b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси OY (рис. 21).Если С 0, то уравнение (6) можно записать в форме
. Здесь а и b - величины отрезков, которые прямая отсекает на осях ОХ и OY (рис. 21).
Если прямая проходит через две заданные точки и , то ее уравнение имеет вид .
Пример. Прямая проходит через точки и . Написать ее уравнение, найти угловой коэффициент и отрезки, которые она отсекает на осях координат.
Решение. - oбщее уравнение прямой. Отсюда следует, что или - уравнение прямой с угловым коэффициентом. Здесь . Из уравнения . Итак, а=11, b= .
Если прямые и пересекаются в точке М (рис. 22), то угол поворота от и определяется по формуле
. (7)
| | В частности, если , то
и . Если же , то . Из формулы (7) следует, что или .
| |
у
М
О х
Рис. 22
Пример. Найти угол между прямыми и .
Решение. Так как .
Так как . .
Кривые второго порядка
Так называются линии, которые описываются уравнениями второй степени относительно х и у. К ним относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.
1. Окружность
- каноническое уравнение,
х, у – текущие координаты окружности,
О – центр окружности,
r – радиус окружности.
| | у
О х
2. - каноническое уравне-ние , а – большая полуось эллипса, b – малая полуось. - фокусы эллипса. Величины а, b, с связаны формулой .
| | Эллипс
у
b a
О c х
3. -каноническое уравнение, а – действительная полуось, b - мнимая полуось, - фокусы гиперболы, - уравнения асимп-тот; величины связаны формулой .
| | Гипербола
Y
b c
O a x
- каноническое уравнение, - параметр параболы, О – вершина параболы, - фокус параболы. Прямая -директриса. Уравнение : .
Если изменить расположение кривой относите-льно системы координат, то изменится и урав-нение кривой, которое уже не будет каноническим. При этом возможны следующие случаи:
| | 4. Парабола
y
N O F
x
Центр кривой перенесен в точку без изменения направления осей симметрии. Уравнения полученных кривых называют нормальными.
y y
O x O x
y y
O x
Полярная система координат
Она задается полярной осью ,на которой указаны начало отсчета О и единица
масштаба (рис.23).
у
y
O O
1 x
Рис. 23 Рис. 24
В полярной системе всякая точка М имеет две координаты: расстояние от полюса О до точки М, то есть , и угол , который образует радиус-вектор с осью . Числа называются полярными координатами точки М. Они изменяются в границах , .
Если полярную систему координат естественным образом совместить с декар-
товой системой XOY (рис. 24), то . Это формулы, с помощью которых можно перейти от декартовых координат к полярным. Из этих формул следует, что . Таким образом, полярные координаты выгодны в тех случаях, когда уравнение линии содержит выражение .
Пример. Уравнение кривой записать в полярных координатах.
Здесь .
Поэтому . Эта кривая называется лемнискатой Бернулли (рис. 25).
О О
Рис. 25 Рис. 26
Пример. Построить кривую . Эта кривая называется кардиоидой (рис. 26). Строим таблицу значений, придавая аргументу значения с постоянным шагом .
В обобщенной полярной системе координат допускаются отрицательные значения полярного радиуса . В этой системе , . При этом точки строятся симметрично относительно полюса О. Например, из уравнения лемнискаты следует, что .
Здесь . Строим таблицу значений.
Уравнению соответствует та часть лемнискаты, которая расположе-на в первой и четвертой четвертях, а уравнению - во второй и треть-ей четвертях.
Кривые, заданные параметрически
Линию L на плоскости XOY можно рассматривать как траекторию движущейся точки М (х,у) . При этом ее координаты х и у изменяются в зависимости от некоторого параметра t. Обычно в качестве параметра t выступает либо время движения, либо угол поворота. Таким образом, параметрические уравнение линии L имеют вид .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|