Линейная функция и её график

Рене Декарт внёс в математику две важных идеи. Первая состоит в том, что, расположив на плоскости две перпендикулярные числовые прямые, мы получаем декартову систему координат, в которой каждая точка получает две координаты (х; у). Вторая – в том, что каждое уравнение описывает в декартовой системе координат некоторую линию. Как пример рассмотрим линейную функцию.

Линейная функция задаётся уравнением вида y = k∙x + b, а иногда и более общей формулой с₁∙x + с₂∙y + с₃ = 0 (с₁∙и с₂∙не равны нулю одновременно), в которой переменная у не выражена явным образом через переменную х. Важно то, что переменные х и у входят в оба уравнения в первой степени.

Теорема. Графиком линейной функции является прямая, тангенс угла наклона которой равен k.

Доказательство. Рассмотрим формулу с₁∙x + с₂∙y + с₃ = 0. Если с₂ неравно нулю, то уравнение приводится к виду y = k∙x + b. В противном случае оно задаёт вертикальную прямую . Итак мы можем рассматривать уравнение вида y = k∙x + b.

Рассмотрим три точки лежащих на графике нашей функции (0; b), (х₁; kх₁) и (х₂; kх₂). На чертеже с ними связаны светло-серый и серый прямоугольные треугольники. Если их острые углы при вершине (0; b) не равны, то точки не лежат на одной прямой, и график линейной функции прямой не является. Однако это не так. Поскольку треугольники подобны, соответствующие острые углы у них равны, а, значит, все три точки лежат на одной прямой. При этом угол наклона этой прямой α таков, что tg α = k.

Задача 1. На декартовой плоскости заданы две точки (х₁; у₁) и (х₂; у₂). Получить уравнение прямой, проходящей через них.

Решение. Поскольку уравнение прямой имеет вид y = k∙x + b нужно найти параметры k∙и b. По условию задачи имеют место равенства y₁ = k∙x₁ + b и y₂ = k∙x₂ + b. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными позволяет найти числа k∙и b.

Задача 2. Заданы две прямые y = k₁∙x + b₁ и y = k₂∙x + b₂. Нужно найти координаты точки их пересечения.

Решение. Нужно решить систему линейных уравнений y=k₁∙x+b₁ и y=k₂∙x+b₂.

Задача 3 Заданы точки А (х₁; у₁), В (х₂; у₂), С (х₃; у₃), D (х₄; у₄). Нужно найти координаты точки пересечения прямых АС и ВD.

Решение. Нужно последовательно решить задачи 1 и 2.

Задача 4. На декартовой плоскости задана точка (х₀; у₀) и тангенс угла наклона прямой k. Получить уравнение прямой, проходящей через заданную точку и заданный тангенс угла наклона.

Решение. Поскольку уравнение прямой имеет вид y = k∙x + b и параметр k известен, нужно найти параметр b. Для этого следует подставить в уравнение координаты точек и выразить b. Поскольку b = y₀ – k∙x₀, уравнение y = k∙x + y₀ – k∙x₀ можно привести либо к виду , либо к виду , где ∆х = х – х₀ (приращение аргумента) и ∆у = у – у₀ (приращение функции).

В аналитической геометрии часто нужно решать вопрос о взаимном расположении двух и более прямых. Две прямые параллельны, если они образуют с осью абсцисс равные углы. Из этого следует, что две прямые y = k₁∙x + b₁ и y = k₂∙x + b₂ параллельны, если k₁∙= k₂∙и b₁ ≠ b₂ (если же и b₁ = b₂, то прямые совпадают).

Задача 5. Задана точка (х₀; у₀) и прямая y = k∙x. Получить уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.

Решение. Используя задачу 4 и замечание о параллельности прямых, получаем уравнение , или после преобразований – уравнение y = k∙x + y₀ – k∙x₀.

Задача 6. Задана точка (х₀; у₀) и прямая y = k∙x. Получить уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Решение. Прямая y = k∙x проходит через начало координат и через точку (1; k). С этими двумя точками связан прямоугольный треугольник, катеты которого являются приращениями ∆х = 1 (горизонтальный катет) и ∆у = k (вертикальный катет). При повороте данного треугольника на 90° и по часовой стрелке, и против неё, горизонтальный катет становится горизонтальным и наоборот. Кроме того, одно из приращений меняет знак. Таким образом, тангенс угла наклона прямой, перпендикулярной к y = k∙x, равен .

Используя задачу 4, получаем уравнение , или после преобразований – уравнение .

Задача 7. На плоскости заданы точки А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂). Найти координаты точек С (х₃; у₃) и D (х₄; у₄), которые являются вершинами квадрата АВСD. Вычислить площадь этого квадрата.

Решение. Положим ∆х = х₂ – х₁ и ∆у = у₂ – у₁. Тогда по аналогии с предыдущей задачей х₃ = х₂ – ∆у и у₃ = у₂ + ∆ х. Кроме того, х₄ = х₁ – ∆у и у₄ = у₁ + ∆х.

Площадь квадрата равна (∆х)² + (∆у)². Это следствие теоремы Пифагора.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: