Сделай Сам Свою Работу на 5

Геометрическое доказательство





Средневековье и Новое время

С развитием математики в Средневековье и воспринятой из схоластики опорой на логику постепенно выстраиваются представления о формальном доказательстве и развиваются его методы. К Герсониду относят обоснование и введение в практику метода математической индукции[11]. С XVI века отмечаются отдельные попытки критического осмысления доказательств древнегреческих математиков.

К Новому времени благодаря успехам применения математики в естественных науках математические утверждения и доказательства считались надёжными, как только дано точное и формальное определение исходных понятий, и математика в целом считалась образцом строгости и доказательности для всех прочих дисциплин. В частности, Лейбниц считает аксиомы и правила вывода незыблемыми и стремится построить формальную систему логики, чтобы «доказать всё доказуемое»[13]. Однако, даже в XVIII веке понятие доказательства было всё ещё слишком неформализованным и умозрительным.

В XIX веке всё чаще возникают идеи необходимости постулирования некоторых интуитивно очевидных правил, которые формальным способом доказать невозможно. Яркий пример — принцип Дирихле, согласно которому в любом наборе из совокупностей, содержащих в общей сложности более элементов, есть хотя бы одна, содержащая более одного элемента (наиболее известная формулировка — «если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика»), не прибегая к этому принципу, как выяснил Дирихле, невозможно строго доказать многие важные теоретико-числовые и комбинаторные утверждения. Ещё одним толчком к пониманию относительности доказательств в зависимости от постулируемых принципов стало после многих веков неуспешных попыток доказать аксиому параллельности Евклида создание Лобачевским, Бойяи, Гауссом и Риманом неевклидовых геометрий.



2. Примеры математических доказательств

Методы формального доказательства

Прямое доказательство

Прямое доказательство предусматривает применение только непосредственного дедуктивного вывода из считающихся верными утверждений (аксиом, ранее доказанных лемм и теорем), без использования суждений с отрицанием каких-либо утверждений.



Индукция

Индуктивный метод, позволяющий перейти от частных утверждений ко всеобщим, наиболее интересен в применении к бесконечным совокупностям объектов, но её формулировки и применимость существенно отличаются в зависимости от сферы применения.

Простейший индуктивный метод[19] — математическая индукция, умозаключение относительно натурального ряда, идея которого в утверждении некоторого закона для всех натуральных чисел, исходя из фактов его выполнения для единицы и следования истинности для каждого последующего числа, в нотации натурального вывода:

.

От противного

Доказательство от противного использует логический приём доведения до абсурда и строится по следующей схеме: чтобы доказать утверждение предполагается, что оно неверно, а затем по дедуктивной цепочке приходят к заведомо ложному утверждению.

.

Контрапозиция

Контрапозиционное доказательство[en] использует закон контрапозиции и состоит в следующем: для доказательства факта, что из утверждения следует требуется показать, что из отрицания следует отрицание , в символике натурального вывода:

.

Контрапозиционное доказательство сводится к методу от противного[⇨]:

Построение

Для утверждений типа теорем существования, в которых формулируется в качестве результата наличие какого-либо объекта, например, существование числа, удовлетворяющего каким-либо условиям, наиболее характерный тип доказательства — непосредственное нахождение искомого объекта с использованием методов соответствующей формальной системы или контексту соответствующего раздела.



Исчерпывание вариантов

В некоторых случаях для доказательства утверждения перебираются все возможные варианты совокупности, относительно которой сформулировано утверждение (грубый перебор) или все возможные варианты разбиваются на конечное число классов, представляющих частные случаи, и относительно каждого из которых доказательство проводится отдельно.

Биекция

Двойной счёт

Геометрическое доказательство

Прикладные методы

Приближённые методы

Вероятностные методы

Статистические методы

 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.