Применение теоремы о циркуляции к расчету магнитного поля бесконечно длинного соленоида

Вариант № 1

Задание 1. Вывести закон Ома в дифференциальной форме и объяснить его смысл.

Электрическим током называется направленное движение электрических зарядов. Электрический ток может быть обусловлен движением как отрицательных, так и положительных носителей тока. В металлах носителями тока являются свободные электроны. Количественной мерой электрического тока является сила тока I - скалярная физическая величина, численно равная заряду, проходящему через поперечное сечение проводника за единицу времени

Ток, величина и направление которого не изменяется со временем, называется постоянным. Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотностью тока(j)

Для постоянного тока: ,

Плотность тока - вектор, направление которого совпадает, с направлением упорядоченного движения положительных зарядов.

Пусть V- скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике , n - число носителей тока в единице объема проводника, а заряд одного носителя равен элементарному заряду e. Тогда за время через поперечное сечение проводника будет перенесен заряд , а плотность тока будет равна

(1)

По закону Ома сила тока I в проводнике прямо пропорциональна напряжению U на проводнике и обратно пропорциональна сопротивлению проводника R.

( 2 )

Сопротивление проводника

(3)

где L - длина проводника, S - площадь поперечного сечения, ρ - удельное сопротивление.

Величина называется удельной электропроводностью материала проводника. Она зависит от свойств материала и температуры.

Закон Ома (2) можно представить в дифференциальной форме. Подставляя (3) в (2), получим:

(4)

Учитывая, что - плотность тока, - удельная электропроводность, - напряженность электростатического поля в проводнике, формулу (4) можно записать в виде

(5)

Так как направление упорядоченного движения положительно заряженных частиц в каждой точке проводника совпадает с направлением вектора , то направления и совпадают. Поэтому формулу (5) можно записать в векторной форме

(6)

Выражение (6) - закон Ома в дифференциальной форме, согласно которому плотность тока в любой точке проводника прямо пропорциональна напряженности электрического поля в этой точке.

Задание 2. Три источника ЭДС ε₁ = 11В, ε₂ = 4В, ε₃ = 6В и три реостата с сопротивлениями R₁ = 5 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ =2 Ом соединены, как показано на рисунке. Определить силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало.

Дано:

ε₁ = 11В; ε₂ = 4В, ε₃ = 6В;

R₁ = 5 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ =2 Ом;

r – пренебрежимо мало

Определить:

I₁ - ?, I₂ - ?, I₃- ?

Решение:

Соединение проводников параллельное.

Для решения задачи воспользуемся правилами Кирхгофа.

Согласно I правилу Кирхгофа сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов выходящих из узла.

Поэтому I₁ + I₂ = I₃ (токи I₁ и I₂ входят в узел В, а ток I₃ выходит из него).

Согласно II правилу Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, входящих в замкнутый контур, равна алгебраической сумме произведений сил токов на сопротивления, через которые эти токи текут в данном контуре:

I₁ R₁ - I₂ R₂ = ε₁ - ε₂

I₂ R₂ + I₃ R₃ = ε₂ – ε₃

Решим систему уравнений:

I₁ R₁ - I₂ R₂ = ε₁ - ε₂

I₂ R₂ + I₃ R₃ = ε₂ – ε₃

I₁ + I₂ = I₃

5I₁ - 10I₂ = 11-4=7

10I₂ + 2I₃ = 4-6= -2

I₁ + I₂ = I₃

I₁ = ; I₃ =

+ I₂= ;

2(7+10 I₂) + 10 I₂ -5(-2-10 I₂) = 0;

14+20 I₂+10 I₂+10+50 I₂ = 0;

80 I₂= -24; I₂ = -24/80 = -0,3А;

I₃ = 0,5А;

I₁ = 0,8А;

Проверка:

I₁ + I₂ = I₃

0,8-0,3 = 0,5

0,5=0,5

Ответ:I₁ = 0,8А; I₂ = -0,3А; I₃ = 0,5А. Знак «-« означает, что ток I₂ антинаправлен обходу контура.

Задание 3. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка равна 200А/м. Магнитный момент р_m равен 1 А/м². Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка.

Дано:

Н = 200А/м

р_m =1 А/м².

I - ?, R - ?

Решение:

Индукция магнитного поля кругового витка равна:

В = μ_оμI,

Где μ_о – магнитная постоянная = 4π·10^-7Гн/м

μ – магнитная проницаемость среды (для воздуха = 1).

В = Н·μ_оμ

I = В/μ_оμ = Н·μ_оμ / μ_о = 200·1 = 200 А

р_m = I·S = I·πR²

R = = = 0,4 м.

Ответ: I = 200А, R = 0,4 м.

Задание 4. Определить магнитную индукцию в центре кругового витка радиуса R =10 см, образованной бесконечным тонким проводом с током. Форма петли изображена на рисунке. Ток в проводе I = 100 А.

I Дано:

I = 100 А.

R =10 см =0,1м.

R В - ?

Решение:

Магнитная индукция в центре кругового витка:

В= μ_оμI/2R

Где μ_о – магнитная постоянная = 4π·10^-7Гн/м (Гн – Генри)

μ – магнитная проницаемость среды (для воздуха = 1).

В = 4·3,14·10^-7·100/2·0,1 = 6,28·10^-4Тл (Тесла)

[B]=[ (Гн/м·А)/м] = [ ]=[ кг/(с²·А)]=[Тл]

Ответ: В = 6,28·10^-4Тл.

Задание 5. Найти индукцию магнитного поля бесконечно длинного соленоида, используя теорему о циркуляции вектора.

Индукция магнитного поля В внутри бесконечно длинной катушки (соленоида) с током силой I определяется формулой:

В = μ_о·μ·n·I

N – число витков катушки на единице ее длины.

μ_о – магнитная постоянная = 4π·10^-7Гн/м (Гн – Генри)

μ – магнитная проницаемость среды (для большинства веществ примерно равна единице, лишь у ферромагнетиков она достигает 10³ -10⁶).

Ферромагнетики – вещества с μ>>1, χ>1 (железо, кобальт, никель); поле в них значительно усиливается; (χ – магнитная восприимчивость; χ=μ-1).

Соленоидом называют длинную прямолинейную катушку, плотно намотанную виток к витку. Магнитное поле внутри соленоида однородно. Однородность поля нарушается только вблизи концов катушки.

Рисунок 1 – прямоугольный контур

Применение теоремы о циркуляции к расчету магнитного поля бесконечно длинного соленоида

Вектор магнитной индукции имеет отличную от нуля проекцию на направление обхода контура abcd только на стороне ab. Следовательно, циркуляция вектора по контуру равна Bl, где l – длина стороны ab. Число витков соленоида, пронизывающих контур abcd, равно n · l, где n – число витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронизывающий контур, равен I n l.

Согласно теореме о циркуляции, B· l = μ₀·I ·n· l,

откуда B = μ₀ I n

Задание 6. Рассчитать объемную плотность энергии магнитного поля.

Количество энергии, приходящейся на единицу объема среды, называется плотностью энергии ω.

ω =

В – магнитная индукция, [Тл];

Н – напряженность магнитного поля, [А/м];

μ_о – магнитная постоянная = 4π·10^-7Гн/м

Задание 7. Получить соотношения между векторами В и Н, J и Н.

В – магнитная индукция, [Тл];

Н – напряженность магнитного поля, [А/м];

J - намагниченность

В изотропной среде связь между векторами В и Н имеет вид:

Н =

Зависимость магнитной индукции В от напряженности магнитного поля Н описывается кривой намагничивания:

Связь между векторами J и Н:

J = χ· μ_о ·Н,

Во всех веществах, кроме ферромагнетиков, намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля.

χ – магнитная восприимчивость.

Намагниченность ферромагнетиков не пропорциональна напряженности поля. А при большой напряженности поля стремится к максимальному значению.

Задание 8. Построить векторную диаграмму напряжений. Записать закон Ома для цепи переменного тока.

В цепях переменного тока все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. Поэтому аналитические зависимости в виде уравнений не дают представления о реальных соотношениях величин.

Векторной диаграммой называется совокупность векторов на комплексной плоскости, соответствующая комплексным величинам и/или параметрам электрической цепи и их связям.

Рисунок 1– Векторная диаграмма фазных напряжений

Соотношения между линейными и фазными напряжениями определяются в общем случае по второму закону Кирхгофа (в геометрической или комплексной форме):

Рисунок 2 – Векторная диаграмма напряжений четырехпроводной трехфазной цепи

аd=1/2 ав; аd=оа·соs30º

Ūв = оа·

ав=2аd= оа

Как геометрическая разность фазных напряжений, линейные напряжения изображаются на диаграмме треугольником (рисунок 2).

Из диаграммы видно, что

Ū_АВ= Ū_А

Ū_ВС= Ū_В

Ū_СА= Ū_С

Закон Ома для цепи переменного тока: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна полному сопротивлению:

I=U/Z,

где Z-полное сопротивление цепи, складывающееся из активного (R) и реактивного (X) сопротивлений.

Емкостное сопротивление

Индуктивное сопротивление

Задание 9. Рамка, имеющая форму квадрата, помещена в однородное магнитное поле индукции 0,1 Тл. Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60º. Определите длину стороны рамки, если известно, что среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке при выключении тока в течение 0,03 с, равно 10 мВ.

Дано:

В=0,1 Тл

ω = 60º

τ = 0,03 с

ξ= 10 мВ

L - ?

Решение:

1º = радиана ≈0,017453 радиана

60º≈0,017453·60≈1,04718 радиан

ξ= ω·В·а²sinωt

а= =

Задание 10. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура?

Магнитная индукция в центре кругового тока:

В= μ_оμ

Где μ_о – магнитная постоянная = 4π·10^-7Гн/м (Гн – Генри)

μ – магнитная проницаемость среды (для воздуха = 1).

Магнитная индукция вокруг прямого тока:

В= μ_оμ

Ответ: Магнитная индукция уменьшилась в π раз.

Вариант 2

Задание 1. Вывести закон Джоуля-ленца в дифференциальной форме и объяснить его смысл.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

При прохождении по проводнику тока происходит нагревание проводника. Джоуль и независимо от него Ленц обнаружили экспериментально, что количество теплоты, выделяемое в проводнике, зависит от сопротивления проводника и силы проходящего по нему тока.

Закон Джоуля - Ленца в интегральной форме: W =

В цепях постоянного тока DW = I²R Dt или DW = , где

DW - энергия, выделяющаяся в виде тепла в проводнике сопротивлением R, за времяDt;

U -напряжение на проводнике;

I - сила тока в проводнике.

Закон Джоуля - Ленца можно записать в ином виде, введя понятие удельной мощности или плотности мощности тока (w) - энергии, выделяемой в единице объема проводника за единицу времени при прохождении по проводнику электрического тока.

w =

Закон Джоуля - Ленца дифференциальной форме: w = s E²

Задание 2. Даны 12 элементов с ЭДС е=1,5В и внутренним сопротивлением r=0,4Ом. При последовательном или параллельном соединении этих элементов в батарею ток внешней цепи, имеющей сопротивлениеR=0,3 Ом будет максимальным?

Закон Ома для цепи, содержащей N одинаковых источников тока, соединенных параллельно:

I= = = 4,5А.

Закон Ома для цепи, содержащей N одинаковых источников тока, соединенных последовательно:

I= = = = 3,5А.

Ответ:При параллельном соединении ток будет максимальным, равным в данном случае 4,5А.

Задание 3. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса. Найти отношение магнитного момента р_m эквивалентного кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона. Заряд электрона и его массу считать известными.

Дано:

Масса электрона m = 9,1·10^-31 кг

Заряд электрона е = 1,6·10^-19Кл

Го - ?

Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента противоположно направлению вектора механического момента импульса:

Связь механического и магнитного моментов при этом определяется гиромагнитным отношением:

Го = 1,6·10^-19/(2·9,1·10^-31)=8,7912·10¹⁰ Кл/кг

Ответ:Го = 8,7912·10¹⁰ Кл/кг.

Задание 4. Бесконечно длинный тонкий проводник изогнут по дуге окружности на 180º. Радиус изгиба R=10 см. По проводнику течет ток I=50А. определить индукцию магнитного поля, создаваемого этим током, в точке О.

I 1

3

R

О

Магнитная индукция в центре кругового тока:

В= μ_оμ

Где μ_о – магнитная постоянная = 4π·10^-7Гн/м (Гн – Генри)

μ – магнитная проницаемость среды (для воздуха = 1).

В = 4·3,14·10^-7·1· = 3,14·10^-4 Тл. Ответ: В = 3,14·10^-4 Тл.

Задание 5. Из проволоки длиной l=20 см сделаны квадратный и круговой контуры. Найти вращающие моменты сил, действующих на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл. По контуру течет ток с силой 2А. Плоскость каждого контура составляет угол 45º с направлением поля.

М = В·I·S·sinα

Периметр квадратного контура равен длина проволоки:

Р=l=20см = 0,2 м

Тогда сторона квадрата: а

а = 0,2:4 = 0,05м.

Площадь квадрата:

S=а² = 0,05² =0,0025м²

М = 0,1·2·0,0025·sin45º = 0,005/ = 3,6·10^-4 Н·м

Y PhIv85HAGG1/1Aj1A/0C8+SVRMJJ8l1yGbG/XMR25OkfkWo+z2o0f17Ea3fnZTKeqppIdr9+EOg7 MkZi8Q30Y/iMkK1uQjqYLyNok9m6q2tXb5rdTPnun0mfw/49a+1+w9lvAAAA//8DAFBLAwQUAAYA CAAAACEADEaQud8AAAAKAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPwU7DMAyG70i8Q2QkbixZKxgr TSc0wYWdNrYhbllj2orGqZq0K2+POY2j7U+/vz9fTa4VI/ah8aRhPlMgkEpvG6o07N9f7x5BhGjI mtYTavjBAKvi+io3mfVn2uK4i5XgEAqZ0VDH2GVShrJGZ8LMd0h8+/K9M5HHvpK2N2cOd61MlHqQ zjTEH2rT4brG8ns3OA3Hw2Y/ftjN8S3tX5phu04+D95pfXszPT+BiDjFCwx/+qwOBTud/EA2iFbD Qt0vGdWQzhMQDCyWKS9OTKo0AVnk8n+F4hcAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADh AQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4 /SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQB6 5wvnhAIAAFUFAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAA IQAMRpC53wAAAAoBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAN4EAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQA BADzAAAA6gUAAAAA " fillcolor="white [3201]" strokecolor="black [3213]" strokeweight="2pt"/>Площадь кругового контура:

S = π·r²

Длина окружности:

L=2π·r,

тогда r = L/2π = 0,2/(2·3,14) = 0,03 м

S = 3,14·0,03² = 0,002826 м²

М = 0,1·2·0,002826·sin45º =4,0·10^-4Н·м

Ответ: Вращающие моменты сил:

квадратного контура М = 3,6·10^-4 Н·м;

кругового контура М = 4,0·10^-4Н·м.

Задание 6. Два взаимно перпендикулярных длинных провода, по которым текут равные токи силой I=10А, находятся на расстоянии 2 см друг от друга. Найти величину вектора индукции магнитного поля в точке «О», находящейся на равном расстоянии от каждого из проводов.

В= μ_оμ

R = 2:1 = 1 см = 0,01 м.

В = 4π·10^-7· 1· = 2·10^-4 Тл.

Ответ:В =2·10^-4 Тл.

Задание 7. Получить соотношение для индуктивности соленоида. От чего зависит индуктивность соленоида?

Соленоид — длинная, тонкая катушка, то есть катушка, длина которой намного больше, чем её диаметр (также в дальнейших выкладках подразумевается, что толщина обмотки намного меньше, чем диаметр катушки). При этих условиях и без использования магнитного материала плотность магнитного потока B внутри катушки является фактически постоянной и (приближенно) равна

где μ0 − магнитная постоянная, N − число витков, i − ток и l − длина катушки. Пренебрегая краевыми эффектами на концах соленоида, получим, что потокосцепление через катушку равно плотности потока B, умноженному на площадь поперечного сечения S и число витков N:

Отсюда следует формула для индуктивности соленоида (без сердечника):

Если катушка внутри полностью заполнена магнитным материалом (сердечником), то индуктивность отличается на множитель μ — относительную магнитную проницаемость сердечника:

т. е. индуктивность соленоида зависит от длины l солениода, числа его витков N, его площади S и магнитной проницаемости μ вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида.

Задание 8. Намагниченность. Отличие диа- и парамагнетиков.

Намагни́ченность — векторная физическая величина, характеризующая магнитное состояние макроскопического физического тела. Обозначается обычно М или J. Определяется как магнитный момент единицы объёма вещества:

Здесь, M — вектор намагниченности; m вектор магнитного момента;

V — объём.

Если магнитное поле слабо усиливается в веществе, то такое вещество называетсяпарамагнетиком

(Се^3+, Рr³⁺, Ti³⁺, V³⁺, Fe²⁺, Mg²⁺, Li, Na)

если ослабевает, то это диамагнетик

(Bi, Cu, Ag, Au и др.).

Диамагнетизм (от греч. dia – расхождение) - свойство веществ намагничиваться навстречу приложенному магнитному полю.

Диамагнетикаминазываются вещества, магнитные моменты атомов которых в отсутствии внешнего поля равны нулю, т.к. магнитные моменты всех электронов атома взаимно скомпенсированы (например инертные газы, водород, азот, NaCl, Bi, Cu, Ag, Au и др.).

При внесении диамагнитного вещества в магнитное поле его атомы приобретают наведенные магнитные моменты ΔP_mнаправленные противоположно вектору ..

Парамагнетизм (от греч. para – возле) - свойство веществ во внешнем магнитном поле намагничиваться в направлении этого поля поэтому внутри парамагнетика к действию внешнего поля прибавляется действие наведенного внутреннего поля.

Парамагнетиками называются вещества, атомы которых имеют в отсутствии внешнего магнитного поля, отличный от нуля магнитный момент .

Эти вещества намагничиваются в направлении вектора В. .

Задание 9. Сформулировать и записать Закон полного тока для магнитного поля в магнетике.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе:

где I_микро и I_макро – алгебраическая сумма макро- и микротоков сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур L.

• закон полного тока для магнитного поля в веществе утверждает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контураL равна алгебраической сумме макротоков сквозь поверхность натянутую на этот контур:

• Этот закон полного тока в интегральной форме.

• В дифференциальной форме его можно записать:

Задание 10. Нарисовать петлю гистерезиса, указать характерные точки и пояснить их смысл.

петля гистерезиса – график зависимости намагниченности вещества от напряженности магнитного поля Н.

Н_с - коэрцитивная сила.

J_R - остаточная намагниченность.

J_S –намагниченность насыщения.

Намагниченность J_S при Н = Н_S называется намагниченность насыщения.

НамагниченностьJ_Rпри Н = 0 называется остаточной намагниченностью (что служит для создания постоянных магнитов)

Напряженность Н_с магнитного поля, полностью размагниченного ферромагнетика, называется коэрцитивной силой. Она характеризует способность ферромагнетика сохранять намагниченное состояние.

Большой коэрцитивной силой (широкой петлей гистерезиса) обладают магнитотвердые материалы, используемые для изготовления постоянных магнитов

Малую коэрцитивную силу имеют магнитомягкие материалы (используются для изготовления трансформаторов).

Вариант 1

Задание 1. Вывести закон Ома в дифференциальной форме и объяснить его смысл.

Задание 2. Три источника ЭДС ε₁ = 11В, ε₂ = 4В, ε₃ = 6В и три реостата с сопротивлениями R₁ = 5 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ =2 Ом соединены, как показано на рисунке. Определить силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало.

Задание 3. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка равна 200А/м. Магнитный момент р_m равен 1 А/м². Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка.

Задание 4. Определить магнитную индукцию в центре кругового витка радиуса R =10 см, образованной бесконечным тонким проводом с током. Форма петли изображена на рисунке. Ток в проводе I = 100 А.

Задание 5. Найти индукцию магнитного поля бесконечно длинного соленоида, используя теорему о циркуляции вектора.

Задание 6. Рассчитать объемную плотность энергии магнитного поля.

Задание 7. Получить соотношения между векторами В и Н, J и Н.

Задание 8. Построить векторную диаграмму напряжений. Записать закон Ома для цепи переменного тока.

Задание 9. Рамка, имеющая форму квадрата, помещена в однородное магнитное поле индукции 0,1 Тл. Перпендикуляр к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60º. Определите длину стороны рамки, если известно, что среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке при выключении тока в течение 0,03 с, равно 10 мВ.

Задание 10. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура?

Вариант 2

Задание 1. Вывести закон Джоуля-ленца в дифференциальной форме и объяснить его смысл.

Задание 3. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса. Найти отношение магнитного момента р_m эквивалентного кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона. Заряд электрона и его массу считать известными.

Задание 4. Бесконечно длинный тонкий проводник изогнут по дуге окружности на 180º. Радиус изгиба R=10 см. По проводнику течет ток I=50А. определить индукцию магнитного поля, создаваемого этим током, в точке О.

Задание 5. Из проволоки длиной l=20 см сделаны квадратный и круговой контуры. Найти вращающие моменты сил, действующих на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл. По контуру течет ток с силой 2А. Плоскость каждого контура составляет угол 45º с направлением поля.

Задание 6. Два взаимно перпендикулярных длинных провода, по которым текут равные токи силой I=10А, находятся на расстоянии 2 см друг от друга. Найти величину вектора индукции магнитного поля в точке «О», находящейся на равном расстоянии от каждого из проводов.

Задание 7. Получить соотношение для индуктивности соленоида. От чего зависит индуктивность соленоида?

Задание 8. Намагниченность. Отличие диа- и парамагнетиков.

Задание 9. Сформулировать и записать Закон полного тока для магнитного поля в магнетике. Задание 10. Нарисовать петлю гистерезиса, указать характерные точки и пояснить их смысл.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: