ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Основные понятия и формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела)

где r(t) — зависимость радиуса - вектора точки от времени.[1]

Мгновенная, средняя и средняя путевая скорости выражаются формулами

, , ,

где Dr — перемещение, Ds — путь, пройденный точкой за интервал времени Dt. Путь Ds не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. Ds³0.

Мгновенное и среднее ускорения

, .

В случае прямолинейного равнопеременного (a=const) движения справедливы формулы

, , ,

где a>0 для случая равноускоренного движения и a<0 для равнозамедленного.

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности имеет вид:

Угловая скорость

Угловая скорость является псевдовектором (условным вектором). Она параллельна оси вращения точки или тела, а ее направление зависит от направления вращения (направления изменения угла j) и определяется правилом правого винта.

Угловое ускорение

Направлено также как и угловая скорость в случае ускоренного вращения и в противоположную сторону в случае замедленного.

В случае вращения по окружности с постоянным угловым ускорением (ε=const) справедливы формулы

, , ,

где ε>0 для случая равноускоренного движения по окружности и ε<0 для равнозамедленного.

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности:

, , ,

где v — линейная скорость; a_τ и a_n — тангенциальное и нормальное ускорения; ω — угловая скорость; ε — угловое ускорение; R — радиус окружности.

Полное линейное ускорение точки, движущейся по окружности,

или .

Угол между полным а и нормальным a_n ускорениями

Уравнение гармонических колебаний материальной точки

где х — смещение точки от положения равновесия; А — амплитуда колебаний; ω — круговая или циклическая частота; j — начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

и .

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

и :

а) , если разность фаз j=0;

б) , если разность фаз j=±p;

в) , если разность фаз j=±p/2.

Уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся в направлении оси x,

где x — смещение из положения равновесия любой из точек среды с координатой х в момент времени t, v — скорость распространения колебаний в среде, j — начальная фаза.

Связь разности фаз Dj колебаний точек среды в волне с расстоянием Dх между ними, отсчитанным в направлении распространения колебаний

где l — длина волны.

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью v

.

Второй закон Ньютона

или ,

где F — результирующая сила, действующая на материальную точку, Fdt - импульс силы, вызвавшей изменение импульса dp.

Одна из форм записи второго закона Ньютона для тел с постоянной массой

.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

,

где k — коэффициент упругости (в случае пружины применяется также название — жесткость); х — абсолютная деформация;

б) сила тяжести

;

в) сила гравитационного взаимодействия

,

где G — гравитационная постоянная; т₁ и m₂ — массы взаимодействующих тел; r — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

г) сила трения скольжения

,

где f — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.

Закон сохранения импульса для системы из N материальных точек

или для двух тел (i=2)

,

где v₁ и v₂— скорости тел в начальный момент времени (например, до соударения), u₁ и u₂— скорости тех же тел в конечный момент времени (например, после соударения).

Центр масс (инерции) системы — точка: положение которой определяется радиусом вектором

,

где r_i — радиус-вектор точки системы массой m_i.

Импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость движения ее центра масс

.

В однородном поле силы тяжести центр масс совпадает с центром тяжести — точкой системы или тела, к которой приложена равнодействующая всех сил тяжести, действующих на систему или тело. Сумма моментов сил тяжести относительно центра тяжести равна нулю.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

или

Потенциальная энергия:

а) деформированной упругой пружины

,

б) гравитационного взаимодействия

,

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести

,

где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R—радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии (выполняется в поле консервативных сил)

.

Элементарная работаdА, совершаемая результирующей силой F за бесконечно малый промежуток времени dt, определяется как скалярное произведение

,

где dr — перемещение тела за время dt, a — угол между направлениями силы и перемещения.

Работа А, совершаемая результирующей силой, может быть определена также как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

.

Мгновенная мощность определяется формулой

.

Момент силы материальной точки или тела относительно любой выбранной неподвижной точки (полюса) определяется как векторное произведение

,

где r — радиус вектор, направленный от полюса к материальной точке или, в случае тела, к точке приложения силы F.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки (полюса)

,

где p— импульс точки.

В случае тела момент импульса равен векторной сумме моментов импульса всех N точек тела относительно полюса

,

Основное уравнение динамики вращательного движения тела относительно любой точки (полюса)

,

где M — результирующий момент внешних сил, действующих на тело, относительно полюса; L — момент импульса тела относительно полюса.

Основное уравнение динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси z записывается в форме

, если ,

или , если J_z изменяется со временем.

Здесь М_z — результирующий момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси z (или проекция на ось z результирующего момента внешних сил M относительно любой точки оси z); ε —угловое ускорение; J_z — момент инерции тела относительно оси вращения z.

Значение момента силы М_z определяется как

,

где F — сила, действующая на тело, l — плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от оси вращения z до прямой, вдоль которой действует сила (линии действия силы).

Момент инерции материальной точки массой m относительно оси z

,

где r — радиус вращения точки вокруг оси z.

Момент инерции относительно оси z системы или тела, которые состоят из N материальных точек, равен сумме моментов инерции этих точек относительно данной оси

.

Моменты инерции некоторых однородных симметричных тел массой m относительно оси симметрии z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину

;

б) обруча (или тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (плоскости поперечного сечения цилиндра) и проходящей через его центр

,

где R — радиус обруча (цилиндра);

в) диска (однородного цилиндра) радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр

;

г) шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр

.

Момент инерции тела массой m относительно произвольной оси z, не проходящей через центр масс (теорема Штейнера):

,

где J_c — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной оси z, d — расстояние между этими осями.

Момент импульса относительно неподвижной оси z тела, вращающегося относительно данной оси с угловой скоростью ω (или проекция момента импульса L тела на ось z),

.

Закон сохранения момента импульса системы N тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или

Период физического маятника

,

где J — момент инерции физического маятника относительно горизонтальной оси, не проходящей через центр масс, d — расстояние от точки подвеса до центра масс.

Приведенная длина физического маятника

.

Период математического маятника

,

где l — длина математического маятника.

Период пружинного маятника

,

где m — масса маятника, k — жесткость пружины.

123 4

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2023 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.