Сделай Сам Свою Работу на 5

Нахождение обратной матрицы





Введение.

Прежде чем приступить к рассмотрению примеров на нахождение обратной матрицы, рассмотрим один важный вопрос. Что необходимо знать и уметь для этого? Ответ. Необходимо уметь решать определители, необходимо понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с матрицами.

Матрица — система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид:

Элемент матрицы в общем виде обозначается aij— это показывает, что мы имеем число, расположенное на пересечении i-й строки и j -го столбца (разумеется, i и j можно заменить любой другой буквой, но такое обозначение — наиболее распространенное). Соответственно, матрица A может обозначаться как [aij].

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.



В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, квадратная (когда число строк равно числу столбцов), нулевая (все элементы равны нулю), единичная (диагональные элементы равны единице), диагональная, симметричная, обратная и т. п. матрицы.

Для того, чтобы перейти к понятию обратной матрицы необходимо также разобраться с одним из ключевых понятий, характеризующих матрицы – определителем, а также с понятием вырожденной и невырожденной матрицы.

Определитель (или детерминант) — это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Т.е., определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы определитель равен нулю. Определитель играет ключевую роль в решении матриц, систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.



Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A). Существует несколько способов вычисления определителя. Например, разложение по строке:

,
где — дополнительный минор к элементу , полученной из исходной вычеркиванием строк и столбцов.

В частности, формула вычисления определителя матрицы 3x3 такова:

.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если .

 

Обратная матрица. Определение, основные свойства.

Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Говоря простым языком, чтобы исключить непонятную терминологию – Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Свойства обратной матрицы:

· , где обозначает определитель.

· для любых двух обратимых матриц A и B.

· , где обозначает транспонированную матрицу.

· , для любого коэффициента .

· Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор), где x — искомый вектор, и если A−1 существует, то x = A−1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.



 

Нахождение обратной матрицы

Существует несколько методов нахождения обратной матрицы. Заметим, что для всех методов решения первый пункт будет один и тот же. Заключается он в проверке матрицы на вырожденность. Для этого следует вычислить определитель. И это очень важно! Если определитель равен нулю, дальнейшие действия не имеют смысла, т.к. в этом случае обратной матрицы не существует.

Рассмотрим примеры:

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.