Метод половинного деления

Пусть d корень f(x)=0 d [a;b]=> f(a)*f(b)<0

b-a >

Возьмем точку С=

(ТУТ БУДЕТ РИСУНОК, ПОКА ДУМАЮ КАК ЛУЧШЕ СДЕЛАТЬ!)

F(c)=0 тогда с – точный корень уравнения, если f(c)<>0 то из двух образовавшихся отрезков выберем тот, на концах которого ф-я принимает значения разных знаков и для него повторяем процедуру.

Процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, пока на каком-то n-ом этапе либо середина последнего отрезка будет точным корнем ур-я либо будет получен такой отрезок , такой что и во вторых станет меньше E за приближенное значение берут точку d- середину интервала

(ТУТ БУДЕТ БЛОК-СХЕМА, ПОКА ДУМАЮ КАК ЛУЧШЕ СДЕЛАТЬ!)

Метод половинного деления простой и надежный метод уточнения корней ур-я f(x)=0 он сходится для любых непрерывных ф-ий в т.ч. и недифференцируемых .

Метод Ньютона

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделён на отрезке АВ, причём f’(x) и f”(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке АВ. Пусть для определённости f(a)<0, f(b)<0, b’(x)>0, f”(x)>0

Проведём касательную в точке b0и найдём точку пересечения касательной в точке x.

Теперь корень находится на отрезке ax1 проведём касательную в точке B₁ (x₁ f(x₁))

x₂ = x₁ =f (x₁)/f’(x₁)

----------------------------------------------------------------------

X₀, X₁, x₂….,x_n,…

Процесс завершить, как только

Замечания:

1) Этот метод получен на основе геометрической линеаризации. Можно получить на основе метода Тейлора (разложения)

X₁=x_0-f(x₀)/f’(x₀), затем осуществляется разложение в ряд Тейлора в окрестности
точки x, (это называется аналитическая линеаризация).

2) При выборе метода из соображений достижения заданной точности необходимо учитывать, что с увеличением числа шагов, наряду с повышением точности накапливается арифметическая погрешность.

3) При пользовании методом Ньютона важно правильно определить какой из концов отрезка АВ выбрать в качестве начального приближения. В качестве начального приближения выбирается тот из концов отрезка АВ ,в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.

Метод параллельных секущих

В соответствии с принципом линеаризации вместо решения нелинейного ур-я f(x)=0

Стараются построить и решить такое ур-е f(x)=0, корни которого были бы возможно ближе к корням исходного нелинейного ур-я.

В этом методе вместо последовательных касательных к f(x) в точке проводят серию секущих совпадающих с f(x) в точке и проходящих параллельно самой первой касательной проведенной в точку

(ТУТ БУДЕТ РИСУНОК, ПОКА ДУМАЮ КАК ЛУЧШЕ СДЕЛАТЬ!)

Очередная секущая, проведенная в точку пересечет ось Х в точке

= -f( )/f’( )

Послед.****** (У него так написано было! Посмотрите исправьте это!!!!!!!!)

Выстраиваемая таким образом также сходится к корню ур-я f(x)=0 но медленнее чем в методе Ньютона

Но есть важное преимущество- нет необходимости каждый раз вычислять производную и производить деление

K=1/f( )

n= 1,44

Метод хорд

Так же базируется на принципе линеаризации

y-f(a)/f(b)-f(a)=x-a/b-a

y=0 x=x1

x1=a-f(a) × b-a/f(b)-f(a)

x2=a-f(a) × x1-a/f(x1)-f(a)

xn+1=a-f(a) × xn-a/f(xn)-f(a)=a-(xn-a) × f(a)-f(xn)+f(xn)/f(xn)-f(a)=xn-f(xn) × xn-a/f(xn)-f(a)

если неподвижен конец хорды A

xn+1=xn-f(xn) × b-xn/f(b)-f(xn)=b-f(b) × b-xn/f(b)-f(xn)

если неподвижен конец хорды B

неподвижным будет тот конец хорды, в котором знак ф-ии совпадает со знаком производной…

f(x) × fᶸ(x)>0

Метод последовательных приближений

f(x)=0 ξЄ [ a,b] (1) ɛ>0

Пусть х= φ(х) равносильно уравнению (1) при любом х₀ Є [ a,b] и подставим в правую часть (1)

х₁= φ(х₀). Найденные значения х₁ снова подставим в правую часть равносильного уравнения и

тогда х ₂ = φ(х)

………..

x_n+1= φ(х_n)

………..

x₀, x₁, x₂, x₃, …, x_n…

Установлено, что предел этой последовательности существует и является корнем f(x)=0 если

| φꞋ(х) | <1. Процесс завершается когда |x_n+1 - x_n | < ɛ

a x₀ x₁ x₂ … ξ

X₀=4, 7

X_0,,x₁

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: