В этом случае интегральная ф-ла Лапласа

В9. Понятие случайной величины и ее закона распределения. Функция распределения случайной величины и ее свойства. График функции распределения случайной величины. Примеры. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой ( ), ее конкретные значения – строчными буквами ( ).

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. 1) Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения. 2) Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.

Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.

Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины , принимающей значения .

· Если , то , так как в этом случае событие является невозможным.

· Если , то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие , поэтому .

· Если , то событие равно сумме событий , и .

· Аналогично, если , то .

Свойства функции распределения:

1) Функция распределения принимает значения из промежутка : .

2) Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .

3) Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .

4) .

5) Если , то .

6) Если , то .

В10,11. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства. Плотность распределения вероятностей случайной величины, являющейся функцией случайной величины. Примеры. Свойства функции распределения:

1) Функция распределения принимает значения из промежутка : .

2) Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .

3) Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .

4) .

5) Если , то .

6) Если , то .

В12. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

,

где .

Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.

Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины .

Свойства математического ожидания:

1) Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

2) Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин и равно разности их математических ожиданий:

.

Следствие. Если – постоянная величина, то:

3) Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

.

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Действительно, например, для трех взаимно независимых случайных величин , и :

, и т.д.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

Если – постоянная величина и – любая случайная величина, то, учитывая, что и – независимы, получим:

.

Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин и равно разности их математических ожиданий: .

В13. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение и моменты дискретной случайной величины.

Теорема. Для любой случайной величины математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т.е.

.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

.

Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т.е. является числовой характеристикой этой величины.

Свойства дисперсии можно сформулировать в виде теорем.

Теорема. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат .

Теорема. Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания ее квадрата и квадрата математического ожидания самой величины: .

Теорема. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Если – постоянная величина, то .

Следствие 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е. если случайные величины и независимы, то .

Средним квадратичным отклонением (или стандартом) случайной величины называется корень квадратный из дисперсии этой величины: .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: