Определение динамических реакций в точках закрепления вращающегося тела.

Рассмотрим тело массы М, имеющее две закрепленные точки О и В, котороевращается под действием активных сил вокруг неподвижной оси, проходящей через этиточки (рис. 1).

Рис. 1

Примем точку О за начало неизменно связанной с АТТ декартовой системы координат Оxyz, направив ось Oz вдоль оси вращения АТТ в сторону точки В. Расстояние между подпятником О и подшипником В обозначим через h. Освободив АТТ от связей в точках О и В, приложим к АТТ силы реакций связей и , проекции которых на оси координат обозначим соответственно и . Для определения пяти реакций связи воспользуемся принципом Даламбера.

Запишем формулу для ускорения центра масс тела, вращающегося относительно неподвижной оси:

,

где – радиус-вектор центра масс АТТ, и – соответственно угловая скорость и ускорение АТТ, направленные по оси вращения.

Векторное произведение двух векторов выражается определителем, в первой строке которого расположены единичные вектора , направленные вдоль осей координат, а в двух других строках - проекции на оси координат векторов сомножителей. Представив векторное произведение в виде определителя и учтя при этом, что и , разложим его по элементам первой строки:

(1)

здесь – координаты центра масс АТТ.

Используя соотношение (1) и учтя, что , ускорение центра масс можно представить в виде суммы двух определителей:

.

Разложив это соотношение по единичным ортам декартовой системы координат, получим:

. (2)

С учетом соотношения главный вектор сил инерции примет вид:

. (3)

Найдем выражение для главного момента сил инерции. По аналогии с соотношением (2) для ускорения n-й точки системы можно записать:

. (4)

Тогда учитывая, что

выражение для главного момента сил инерции может быть представлено с учетом выражения (4) в виде определителя:

,

вычисляя который, имеем:

(5)

С учетом соотношений для центробежных моментов и момента инерции относительно осей:

,

выражение для главного момента сил инерции примет вид:

(6)

Подставляя найденные соотношения в уравнения метода кинетостатики

и проектируя затем полученные соотношения на оси декартовой системы координат, будем иметь систему уравнений для определения динамических реакций , :

(7)

Первые пять уравнений соотношений (7) позволяют определить полные динамические реакции , , шестое уравнение является уравнением вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси.

Полные динамические реакции складываются из статических и дополнительных динамических реакций:

, (8)

.

Статические реакции , возникают только вследствие действия задаваемых внешних сил и могут быть определены в предположении, что АТТ находится в покое. Полагая в (7) и , получим:

(9)

Дополнительные динамические реакции являются следствием вращательного движения АТТ вокруг оси Оz. Подставив соотношение (8) в выражение 7) и учитывая соотношения (9), будем иметь:

(10)

Найдем условия отсутствия дополнительных динамических реакций, для чего в соотношениях (10) положим их равными нулю ( в любом случае вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси):

(11) (12)

Системы уравнений (11) и (12) являются системами двух однородных уравнений с двумя неизвестными соответственно х_С, у_С и J_xz и J_yz. Так как главные определители систем не равны нулю:

,

то эти системы удовлетворяют только следующие значения неизвестных:

х_С = 0, у_С = 0, (13)

J_xz = 0, J_yz = 0. (14)

Равенства (13) показывают, что ось вращения z должна проходить через центр масс C АТТ, а равенства (14) показывают, что ось вращения z должна совпадать с одной из главных осей инерции АТТ в точке О, т. е. ось вращения z будет являться одной из главных, центральных осей инерции АТТ.

Таким образом, если ось вращения является одной из главных, центральных осей инерции АТТ, то дополнительные динамические реакции отсутствуют, т. е. полные динамические реакции не отличаются от статических, возникающих под действием только задаваемых сил. В этом случае говорят, что вращающаяся АТТ динамически уравновешена на оси вращения, а ось вращения называется свободной осью.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: