Аксиомы скалярного произведения векторов
РЕФЕРАТ
“Система аксиом Вейля. Непротиворечивость системы аксиом Вейля”
Выполнила: студентка 3 курса
очного отделения
физико-математического
факультета Баирова В. В.
Научный руководитель:доцент,кандидат ф.-м. н.Беляев П. Л.
Бирск-2012
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение 3
2. Аксиоматика Вейля 3
3. Аксиомы линейного векторного пространств 4
4. Аксиомы размерности 5
5. Аксиомы скалярного произведения векторов 6
6. Аксиомы откладывания векторов 7
7. Требования, предъявляемые к системе аксиом 7
8. Список литературы 10
Введение
Герман Вейль (1885—1955) вошел в науку в самом начале нашего века. Он относится к числу немногих великих ученых, сумевших оставить отпечаток своей индивидуальности почти во всех разделах математики. Достойный преемник своего учителя Давида Гильберта и яркий продолжатель традиций немецкой математической школы. Как ученый он сформировался под сильным влиянием Д. Гильберта особый интерес к математическим структурам фундаментальной физики, проблемам аксиоматики физических теорий, к построению единой теории поля. В 1918 в соч. «Пространство, время, материя» Вейль разработал свой вариант «единой теории поля»— фактически первую подлинно геометризованную концепцию, основанную на расширении Римановой геометрии и истолковании электромагнитного поля как геометрического феномена.
Аксиоматика Вейля
В аксиоматике Вейля два неопределяемых понятия: точка – элемент множества Т и вектор – элемент множества V.
Четыре основных отношения: сумма векторов, произведение вектора на действительное число, скалярное произведение векторов, откладывание вектора от точки.
Четыре группы аксиом:
I. Аксиомы линейного векторного пространства;
II. Аксиомы размерности;
III. Аксиомы скалярного произведения векторов;
IV. Аксиомы откладывания векторов.
Аксиомы линейного векторного пространства
Первая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией сложения векторов, позволяющая любым двум векторам и отнести третий вектор – их сумму так, что выполняются аксиомы:
V1: Сложение векторов коммутативно .
V2: Сложение векторов ассоциативно .
V3: Существует нулевой вектор такой, что для справедливо равенство .
V4: Для существует противоположный вектор такой, что .
Вторая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией умножения вектора на число, при этом каждому вектору и числу однозначно отнести вектор , называемый произведением вектора на число , так что выполняются аксиомы:
Аксиомы линейного векторного пространства
V5: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению векторов .
V6: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению чисел .
V7: Операция умножения вектора на число ассоциативна .
V8: Операция умножения вектора на единицу не меняет вектора .
Теорема 1.5. Произведение любого вектора на число 0 равняется нулевому вектору.
Доказательство. С одной стороны, имеем . С другой стороны, прибавляя почленно к обеим частям полученного равенства вектор , противоположный к вектору , мы получим .Таким образом, , т.е.
Теорема 1.6. Противоположный вектор для вектора равен , т.е. .
Теорема 1.7. Произведение вещественного числа на нулевой вектор равняется нулевому вектору, т.е. .
Система векторов называется линейно зависимой, если равенство выполняется для некоторых постоянных , причем
Аксиомы размерности
D1: Существует три линейно независимых вектора , т.е. если .
D2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если .
Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.
Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.
Числа x называются координатами вектора в базисе .
Аксиомы скалярного произведения векторов
Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум векторам и однозначно сопоставляется число , называемое скалярным произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:
E1: Скалярное произведение векторов коммутативно .
E2: Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов
E3: Ассоциативность скаляра относительно произведения векторов .
E4. и .
Скалярное произведение векторов позволяет определить число называемое скалярным квадратом вектора .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|