Сделай Сам Свою Работу на 5

Аксиомы скалярного произведения векторов





РЕФЕРАТ

“Система аксиом Вейля. Непротиворечивость системы аксиом Вейля”

 

 

Выполнила: студентка 3 курса

очного отделения

физико-математического

факультета Баирова В. В.

Научный руководитель:доцент,кандидат ф.-м. н.Беляев П. Л.

 

 

Бирск-2012

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Введение 3

2. Аксиоматика Вейля 3

3. Аксиомы линейного векторного пространств 4

4. Аксиомы размерности 5

5. Аксиомы скалярного произведения векторов 6

6. Аксиомы откладывания векторов 7

7. Требования, предъявляемые к системе аксиом 7

8. Список литературы 10

 

 

Введение

Герман Вейль (1885—1955) вошел в науку в самом начале нашего века. Он относится к числу немногих великих ученых, сумевших оставить отпечаток своей индивидуальности почти во всех разделах математики. Достойный преемник своего учителя Давида Гильберта и яркий продолжатель традиций немецкой математической школы. Как ученый он сформировался под сильным влиянием Д. Гильберта особый интерес к математическим структурам фундаментальной физики, проблемам аксиоматики физических теорий, к построению единой теории поля. В 1918 в соч. «Пространство, время, материя» Вейль разработал свой вариант «единой теории поля»— фактически первую подлинно геометризованную концепцию, основанную на расширении Римановой геометрии и истолковании электромагнитного поля как геометрического феномена.



 

Аксиоматика Вейля

 

В аксиоматике Вейля два неопределяемых понятия: точка – элемент множества Т и вектор – элемент множества V.

Четыре основных отношения: сумма векторов, произведение вектора на действительное число, скалярное произведение векторов, откладывание вектора от точки.

Четыре группы аксиом:

I. Аксиомы линейного векторного пространства;

II. Аксиомы размерности;

III. Аксиомы скалярного произведения векторов;

IV. Аксиомы откладывания векторов.

 

Аксиомы линейного векторного пространства

 

Первая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией сложения векторов, позволяющая любым двум векторам и отнести третий вектор – их сумму так, что выполняются аксиомы:

V1: Сложение векторов коммутативно .



V2: Сложение векторов ассоциативно .

V3: Существует нулевой вектор такой, что для справедливо равенство .

V4: Для существует противоположный вектор такой, что .

Вторая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией умножения вектора на число, при этом каждому вектору и числу однозначно отнести вектор , называемый произведением вектора на число , так что выполняются аксиомы:

Аксиомы линейного векторного пространства

V5: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению векторов .

V6: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению чисел .

V7: Операция умножения вектора на число ассоциативна .

V8: Операция умножения вектора на единицу не меняет вектора .

 

Теорема 1.5. Произведение любого вектора на число 0 равняется нулевому вектору.

Доказательство. С одной стороны, имеем . С другой стороны, прибавляя почленно к обеим частям полученного равенства вектор , противоположный к вектору , мы получим .Таким образом, , т.е.

Теорема 1.6. Противоположный вектор для вектора равен , т.е. .

Теорема 1.7. Произведение вещественного числа на нулевой вектор равняется нулевому вектору, т.е. .

Система векторов называется линейно зависимой, если равенство выполняется для некоторых постоянных , причем

 

 

Аксиомы размерности

 

D1: Существует три линейно независимых вектора , т.е. если .

D2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если .

Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.

Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.



Числа x называются координатами вектора в базисе .

Аксиомы скалярного произведения векторов

 

Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум векторам и однозначно сопоставляется число , называемое скалярным произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:

E1: Скалярное произведение векторов коммутативно .

E2: Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов

E3: Ассоциативность скаляра относительно произведения векторов .

E4. и .

Скалярное произведение векторов позволяет определить число называемое скалярным квадратом вектора .

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.