Произведение и сумма событий.

Теория вероятностей

Случайное событие. Составные и элементарные события.

Случайными событиями называются такие события, которые могут произойти или не произойти при осуществлении совокупности условий, связанных с возможностью появления данных событий.
Случайные события обозначают буквами A, B, C,... . Каждое осуществление рассматриваемой совокупности называется испытанием. Число испытаний может неограниченно возрастать. Отношения числа m наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний (или просто частотой события А) и обозначается Р*(А). Таким образом, P*(A)=m/n.

Примеры случайных событий:

1) опыт - бросание монеты; событие А - появление герба;

2) опыт - выстрел по мишени; событие B - попадание;

3) опыт - выявление спроса покупателей на какой-то товар; событие D - не менее 25% покупателей этот товар оценивают положительно.

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий , если в результате опыта должно появиться хотя бы одно из них.

Достоверное и невозможное событие. Полная группа событий.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.

Примеры событий:

– попадание в цель при выстреле из орудия (опыт — произведение выстрела; событие — попадание в цель);

– выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт — трёхкратное бросание монеты; событие — выпадение двух гербов);

– появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт — измерение дальности; событие — ошибка измерения).

Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита и т.д.

Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие — выпадание трех очков на первой игральной кости, событие — выпадание трех очков на второй кости. и — совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие — наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие — коробка окажется с обувью коричневого цвета, и — несовместные события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. — появление красного шара при одном извлечении, — появление белого шара, — появление шара с номером. События образуют полную группу совместных событий.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие . Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным — событие А, либо бракованным — событие А.

Произведение и сумма событий.

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в выполнении события или события , или обоих вместе.

Например, если событие – попадание в цель при первом выстреле, событие – попадание в цель при втором выстреле, то событие есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

Если события и несовместимы, то естественно, что появление этих событий вместе отпадает, и сумма событий и сводится к появлению или события , или события . Например, если событие – появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие – появление карты бубновой масти, то есть появление карты красной масти, безразлично – червонной или бубновой. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если опыт состоит в пяти выстрелах по мишени и даны события:

– ни одного попадания,

– ровно одно попадание,

– ровно два попадания,

- ровно три попадания,

– ровно четыре попадания,

– ровно пять попаданий,

то

есть событие «не более двух попаданий», а

есть событие «не менее трех попаданий».

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном выполнении события и события .

Например, если событие – появление туза при вынимании карты из колоды, событие – появление карты бубновой масти, то событие есть появление бубнового туза. Если производится два выстрела по мишени и событие – попадание при первом выстреле, событие – попадание при втором выстреле, то есть попадание при обоих выстрелах.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например, если по мишени производится три выстрела, и рассматриваются события

– промах при первом выстреле,

– промах при втором выстреле,

- промах при третьем выстреле,

то событие

состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: