Принцип арифметической средины.

Начальные сведения из теории ошибок измерений

Общие понятия об измерениях

Производство геодезических работ предполагает измерение тех или иных величин (углы- горизонтальные и вертикальные, превышения точек, площади участков, длины линий, температуру воздуха, атмосферное давление и т.д.). Измерить величину Х – значит сравнить ее с однородной ей величиной, принятой за единицу меры. Результатом измерений является число l , которое показывает, сколько раз единица меры содержится в измеряемой величине. Это число l может быть целым и дробным.

Измерения бывают непосредственные и косвенные. При непосредственных измерениях их сравнивают со своей единицей меры. Пример: линейкой с сантиметровыми делениями измеряют длину отрезка на карте в см. При косвенных измерениях результат получается путем вычисления искомой величины через другие непосредственно измеренные. Пример: площадь треугольника вычисляют по измеренным основанию и высоте. В этом случае площадь треугольника – результат косвенных измерений.

Измерения подразделяют на необходимые и избыточные (или добавочные). Так, если одна и та же величина, например угол в треугольнике, измерена n раз, то один из результатов измерений является необходимым, а остальные - (n – 1) - добавочными или избыточными.

Ошибки результатов измерений

Процесс измерений неизбежно сопровождается ошибками. Под ошибкой Δ результата измерений l понимают разность между этим результатом l и точным (истинным) значением Х – измеренной величины, т.е.

Принято говорить, что ошибка Δ равна разности между тем, что есть (практика), и тем, что должно быть (теория).

По характеру действия ошибки подразделяются на грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов, допущенных при измерениях при невнимательном отношении к делу или при неправильной постановке работ. Их можно избежать при внимательном отношении к работе и организации контроля измерений. Пример: просчет целого метра при измерении длин линий.

Систематические ошибки показывают некоторую закономерность между отдельными измерениями. Они имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки известен и изучен, можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и ввести в него поправку, тем самым исключив влияние систематической ошибки на результат измерения.

Случайные ошибки измерений являются неизбежными; устранить их влияние на результаты измерений невозможно. В рядах измерений отсутствует какая-либо закономерность, нет никакой взаимосвязи. Источниками случайных ошибок являются наблюдатель, инструмент и внешние условия. Поэтому борьба за уменьшение влияния случайных ошибок сводится к повышению качества инструментов, совершенствованию способов измерений, увеличению в определенных пределах числа избыточных измерений.

Закономерности случайных ошибок проявляются при большом количестве измерений. Такие закономерности называются статистическими. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная ошибка измерения Δ– это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением Х.

Свойства случайных ошибок

1. При данных условиях измерений случайные ошибки по абсолютной величине не могут превосходить известного предела.

2. Равные по абсолютной величине положительные и отрицательные случайные ошибки одинаково возможны.

3. Среднее арифметическое из случайных ошибок одинаково точных измерений стремится к нулю при возрастании числа измерений.

4. Малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

3 свойство случайных ошибок можно выразить математически:

или

[ ] – этот знак введен Гауссом и называется Гауссова сумма.

Принцип арифметической средины.

Если имеется ряд измерений одной и той же величины: l1, l2 , l3 ,…, ln, то обозначим

Величина x₀ называется средним арифметическим из результатов измерений l или простой арифметической срединой.

Простая арифметическая средина стремится к ее истинному значению при неограниченном возрастании числа измерений, т.е.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: