Ошибка средней арифметической

Эта ошибка определяется по формуле:
,

из которой видно, что чем больше разнообразие признака (величина σ), тем больше ошибка.
Если бы все объекты были одинаковы, то есть разнообразие было бы равно нулю, то и ошибка была бы равна нулю (m = 0). В этом случае даже один экземпляр точно характеризовал бы всю генеральную совокупность.

Ошибка также зависит от численности выборки n: чем больше численность, тем меньше ошибка.
Определив ошибку репрезентативности m, можно найти генеральную среднюю по формуле:

, где

· – генеральная средняя,

· M – выборочная средняя,

· m – ошибка репрезентативности или просто ошибка,

· t – критерий Стьюдента, соответствующий вероятности получаемого результата.

Точное значение генеральной средней найти невозможно, поскольку число объектов стремится к бесконечности. С помощью данной формулы с определенной степенью вероятности находятся две границы: максимального и минимального значений. Эти значения называются доверительными интервалами, то есть такими, которым можно доверять.
Если доверительные интервалы определены с вероятностью 95% или 0,95, то с вероятностью 5% (100% – 95%) или 0,05 генеральная средняя может быть меньше минимального и больше максимального значений. Значение 5% (или 0,05) называется уровнем значимости.
Чаще всего в биологических и экологических исследованиях результат определяется с вероятностью 95% или 0,95. Такой вероятности соответствует tst= 2.
Для уточнения стандартных значений t можно воспользоваться таблицей 1. В ней степень вероятности, выраженная в долях единицы, обозначается B. Всего представлено 4 степени вероятности.

Из данных, приведенных в таблице видно, что при значениях ν больше 28, при вероятности 95% t = 2. Если значения ν меньше, то величина t постепенно увеличивается. При работе со средними арифметическими ν = n - 1. Этот показатель называется числом степеней свободы.

Пример 6. У 10 свиноматок было по следующему количеству поросят в помете:

Найти генеральную среднюю.
Определена выборочная средняя арифметическая: M = 9,0, определена σ = 1,94.
Находим ошибку:

.

Далее находим генеральную среднюю: по таблице 1 определяем, что при n = 10, (ν = 10 - 1 = 9) критерий Стьюдента (tst) равен 2,3. Значит:

.

Вывод: с вероятностью 95% (или в долях единицы 0,95) генеральная средняя для количества поросят в помете свиноматок будет находиться в пределах от 7,6 до 10,4.

С помощью ошибки также определяется достоверностьполученных результатов, которая показывает, насколько правильно выборочные данные характеризуют генеральные.
Достоверность также определяется через критерий Стьюдента. При нахождении генеральных параметров мы сами задаем значение этого критерия, уточнив по таблице 1. При определении же достоверности получаем его значение по формуле:

.

При определении достоверности какого–либо показателя этот показатель делится на свою ошибку. Если полученное значение больше табличного или равно ему t ≥ tst, то результат достоверен, если t < tst, то результат недостоверен.

В предыдущем примере:

.

Стандартное (табличное) значение t, как мы уже говорили, равно 2,3. Значит, наш результат достоверен, и ему можно доверять. Причем, если мы внимательно посмотрим на таблицу 1, то при таком значении полученного t результат достоверен не только с вероятностью 0,95, но и при более высокой степени вероятности.
Если же наш результат оказался недостоверным, это значит ошибка m очень большая.
Вспомним, что

,

и если мы добавим для исследования еще несколько объектов, то величина ошибки сразу снизится, и мы добьемся достоверного результата, то есть для снижения величины ошибки и получения достоверного результата, необходимо увеличить количество объектов исследования.

Билет № 20

Вычисление среднего квадратического (стандартного) отклонения

При анализе статистической совокупности одним из важных показателей является расположение значений элементов совокупности вокруг среднего значения (варьирование). Для характеристики варьирования в практике исследовательской работы рассчитывают среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, которое отражает степень отклонения результатов от среднего значения, выражается в тех же единицах измерения.

Стандартное отклонение обозначается знаком (сигма) и вычисляется по формуле:

где - ) - сумма разности квадратов между каждым показателем и средней арифметической величиной (сумма квадратов отклонений);

- объем выборки (число измерений или испытуемых).

Если число измерений не более 30, т.е. 30, используется формула:

Порядок вычислений (1 вариант):

1. Заполнить первые две колонки таблицы расчетов (вычисление стандартного отклонения на примере показателей шести результатов измерения кистевой динамометрии).

Таблица 2

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: