Жидкости и их основные физические свойства

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Якутск - 2009

‑­

УДК 625.06/07(075.8)

Попов В.Ф., Чжан Т.Р. Основы гидравлики. Учебное пособие. – Якутск, 2009 г. – 85 с.

В учебном пособии рассматривается жидкость как физическое тело; даны основные уравнения гидростатики и движение жидкости; изложены режим движения жидкости и гидравлические сопротивления; представлено напорное движение жидкости в трубах, а также истечение жидкости и движение жидкости в открытых руслах.

Учебное пособие написано для студентов специальности 130302 «Поиски и разведка подземных вод и инженерно-геологические изыскания». Может быть полезен для студентов других технических специальностей, изучающих гидравлику.

Рецензенты:

К.т.н., профессор Р.М.Скрябин

К.т.н., доцент О.И.Алексеева

(С) Якутский государственный университет

«Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром (ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия для студентов вузов региона» Протокол №13 от 10.04.2009 г.
‑­

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

1. Жидкости и их основные физические свойства 5

2. Способы описания движения жидкости 14

3. Уравнение неразрывности 21

4. Уравнение Эйлера 23

5. Уравнение Бернулли 25

6. Равновесие жидкости 33

7. Потери напора 38

8. Гидравлические расчеты длинных трубопроводов 55

9. Истечение жидкости, гидравлические струи 66

10. Движение жидкости в открытых руслах 72

Приложения 82

Список литературы 85

^

‑­

Введение

Гидравлика - прикладная техническая наука, изучающая законы равновесия и движения капельных жидкостей. Знание гидравлики необходимо для инженерных расчетов при проектировании гидротехнических сетей и сооружений, таких как плотины, мосты, каналы, отстойники, системы водоснабжения и канализации, осушения и орошения, при конструировании фильтров, трубопроводов, турбин, насосов и других гидравлических машин.

Гидравлика широко использует теоретические достижения гидродинамики, которая разрабатывает физико-математическую теорию движения и равновесия любых жидкостей и газов. Однако, решение ряда задач гидравлики, выдвинутых практикой, получено экспериментальным путем в форме эмпирических зависимостей. Такие зависимости, пройдя проверку временем и получив теоретическое обоснование, широко используются в современной гидравлике.

Гидравлика является научной основой при изучении гидросистем, гидроприводов горных машин и комплексов, насосных, вентиляторных и компрессорных установок, рудничной аэрологии, вентиляции и дегазации шахт, обогащения полезных ископаемых, гидрмеханизации горных работ, гидрогеологии, гидротехники, мостостроения, водного транспорта и т.д.

Гидравлика - очень древняя наука. Так, закон о давлении жидкости на погруженное в нее тело был установлен Архимедом примерно 250 лет до н.э. Особое развитие гидравлика получила в средние века благодаря трудам Леонардо да Винчи (1452-1519 гг.), Г.Галилея (1564-1642 гг.), Э.Торричелли (1608-1647 гг.), Б.Паскаля (1623-1662 гг.), И.Ньютона (1642-1726 гг.). Позднее их труды развились в стройную теорию основных законов движения жидкости в трудах российских ученых Даниила Бернулли (1700-1782 гг.) и Леонарда Эйлера (1707-1783 гг.). После них наиболее интересные исследования проводили А.Шези, Д.Вентури, Дарси, Вейсбах, П.Базен и О.Рейнольдс. С конца XIX по настоящее время научно-техническая революция привела к широкому развитию гидравлики. Широко известны работы русских ученых, таких как И.С.Громека, Н.П.Петров, Н.Е.Жуковский, Н.Н.Павловский, А.Н.Колмогоров, М.А.Великанов и многие другие.

‑­

Жидкости и их основные физические свойства

В физике различают три агрегатных состояния тел, имеющих молекулярное строение: твердое, жидкое и газообразное. Молекулы твердых тел могут осуществлять тепловое движение в виде колебаний относительно стабильных центров. В жидкости это движение осуществляется в виде колебаний относительно мгновенных центров и скачкообразных переходов от одного центра к другому. Тепловое движение молекул газа - непрерывная скачкообразная перемена мест. Вследствие этого у жидкостей и газов имеется общее свойство - текучесть. Поэтому зачастую под жидкостью понимают все текучее, в том числе и газы (в отличие от капельной жидкости). В газах молекулы располагаются далеко друг от друга, поэтому в них мало проявляются силы межмолекулярного взаимодействия, вследствие чего газы в отличие от твердых тел и капельной жидкости малосжимаемы.

Гидравлика занимается процессами макроскопического характера, вследствие этого жидкость рассматривается как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидкости считается все же настолько большим, что все равно содержит большое количество молекул. Этот объем будет являться малым по сравнению с изучаемым объемом тела, но очень большим, по сравнению с межмолекулярными расстояниями. В аналогичном смысле надо понимать и понятия "жидкая частица" и "точка жидкости". Если мы говорим о смещении жидкой частицы, то говорим о смещении целого элемента объема жидкости, который содержит много молекул, но рассматривается в гидравлике как точка. Таким образом, в жидкости нет пустот и разрывов, что позволяет ввести в гидравлику математический аппарат дифференциальных уравнений. Так, математическое описание состояния жидкости осуществляется с помощью уравнений функций (в том числе в дифференциальных), определяющих распределение скорости жидкости в пространстве и каких-либо ее двух термодинамических величин, чаще всего давления и плотности .

Плотность жидкости r характеризует распределение массы жидкости m по объему V. В произвольной точке А плотность выразится по формуле(1.1)

Плотность однородной жидкости (определяется ареометром)(1.2)

Удельный (единичный) вес жидкости - это вес единицы объема жидкости
(1.3)

где g - ускорение свободного падения (обычно принимают 9,81 м/с²).

Удельный объем - это объем, занимаемый единицей массы жидкости (1.4)

Под действием давления p жидкость хоть и не значительно, но уменьшает свой объем. Это свойство жидкости называется сжимаемость. В ряде некоторых гидравлических инженерных задач приходится учитывать это изменение и для этого используется коэффициент объемного сжатия (1.5)

Знак минус в первой формуле характеризует тот факт, что при увеличении давления объем жидкости уменьшается.

Обратную величину коэффициента объемного сжатия b_V называют модулем упругости (1.6)

Через модуль упругости вводится закон Гука для жидкости(1.7)

При изменении температуры жидкость также изменяет свой объем. Это свойство называется температурным расширением и характеризуется температурным коэффициентом объемного расширения, показывающего относительное изменение объема жидкости при изменении ее температуры на 1°С:(1.8)

Таким образом, плотность жидкости зависит от давления и температуры . У различных жидкостей с уменьшением температуры плотность, как правило, возрастает. Однако, для воды наибольшая плотность наблюдается при 4 °С. Отметим, что при замерзании вода увеличивает свой объем примерно на 10 %.

Силы, действующие в жидкости, делятся на две группы: массовые и поверхностные. Отметим, что эта классификация сил условна, потому что механика Ньютона знает лишь силы, приложенные к массам, сосредоточенным в некоторых объемах. Эти силы называют массовыми или объемными. Однако, в случае, когда сила действует в очень тонком слое жидкости, то можно без большой погрешности свести этот слой в материальную поверхность. В этом случае сила будет действовать на элементы этой поверхности.

Если жидкость рассматривается как сплошная среда, то рассматривают не сами силы, как это делается в динамике дискретных систем, а их плотности распределения в пространстве.

Массовые (объемные) силы действуют на каждую жидкую частицу с некоторой массой. К ним относятся сила тяжести, силы инерции, электромагнитные силы, гравитационные силы (например, влияние Солнца или Луны). Плотность распределения объемной силы в точке А жидкой среды представляет собой предел отношения главного вектора сил к точкам малого объема , содержащего массу (1.9)

Поверхностными называют силы, действующие на каждый элемент поверхности, как ограничивающей жидкость, так и проведенной произвольно внутри жидкости. К ним относятся нормальные к поверхности силы давления и касательные к поверхности силы трения . Плотность распределения нормальных сил (1.10)

‑­

называется нормальным напряжением (в точке А), где Dw - элементарная площадка, содержащая точку А; - сила, действующая на площадку Dw. Плотность распределения касательных сил (1.11)

называется касательным напряжением.

Рассмотрим массу М жидкости, находящуюся в состоянии покоя (рис.1.1). Мысленно рассечем объем, занимаемый жидкостью, произвольной плоскостью w на две части. Если отбросить одну из частей объема, то для сохранения равновесия оставшейся части нужно приложить силу, распределенную по плоскости рассечения w, эквивалентную действию отброшенной части. Напряжение этой силы в произвольной точке А площади w определяется соотношением (1.10). Сила и напряжение направлены по внутренней нормали к площадке Dw, так как в противном случае силу можно было бы разложить на две составляющие: нормальную и касательную. Тогда касательная составляющая привела бы жидкость в движение, что не соответствует нашему условию покоя жидкости. Эта сила может быть только сжимающей, так как жидкость не сопротивляется растягивающим усилиям. Ввиду того, что мы взяли площадку произвольно, то нам ничто не мешает взять эту площадку другой ориентации и все вышесказанное останется в силе, вследствие этого можно сказать, что в покоящейся жидкости значение нормального напряжения не зависит от ориентации площадки Dw. Это позволяет характеризовать напряженное состояние жидкости в каждой точке скалярной величиной, представляющей значение нормального напряжения в точке. Эта величина называется гидростатическим давлением (далее слово "гидростатическое" будет опускаться). Давление может быть различным в разных точках покоящейся жидкости, т.е. p = f (x, y, z).

При движении жидкости, согласно второму началу термодинамики, обязательно происходит рассеяние или диссипация энергии. Если различные участки жидкости движутся с разными скоростями, то имеет ‑­

место движение частей жидкости друг относительно друга. В этом случае проявляются силы внутреннего трения или вязкости, вследствие чего возникают касательные напряжения, оказывающие сопротивление сдвигу слоев жидкости. Ее численное значение можно вычислить по формуле, предложенной Ньютоном: (1.10)

где du/dn - градиент скорости по нормали между различными слоями жидкости, m - коэффициент динамической вязкости, зависящий от температуры и давления. Знак "+" или "-" зависит от выбора направления отсчета расстояния по нормали. Жидкости, подчиняющиеся этой формуле называются ньютоновскими или нормальными. Существуют вязкопластичные жидкости, в которых движение начнется лишь после того как внешней силой будет преодолено напряжение сдвига . В этом случае (1.11)

В гидравлических расчетах обычно используется коэффициент кинематической вязкости1.12)

Слово "кинематическая" в названии этого коэффициента отражает тот факт, что в размерности n входят только кинематические (а не динамические) величины. Вязкость капельных жидкостей определяется вискозиметрами.

В гидравлике часто пользуются понятием идеальной жидкости (невязкой жидкости), под которой понимается жидкость, не имеющая вязкости.

Капиллярность - свойство жидкости подниматься или опускаться в трубках малого диаметра под действием сил поверхностного натяжения. Поверхностное натяжение жидкости обуславливается силами взаимного притяжения молекул поверхностного слоя, стремящихся сократить свободную поверхность жидкости. Особенно сильно поверхностное ‑­

натяжение проявляется в трубках весьма малого диаметра (капиллярах). Благодаря чему жидкость в них поднимается на высоту капиллярного поднятия. Она может быть рассчитана по формуле(1.13)

где r – радиус капилляра (трубки), s - поверхностное натяжение (Н/м).

Кроме этого, жидкости имеют другие свойства, например, такие как смазывающая способность, поверхностное натяжение, испаряемость, кавитация, растворимость и другие.
Пример 1.1.

Определить объем воды, который необходимо дополнительно подать в водовод диаметром d = 500 мм и длиной l = 1 км для повышения давления до Dp = 5×10⁶ Па. Водовод подготовлен к гидравлическим испытаниям и заполнен водой при атмосферном давлении. Деформацией трубопровода пренебречь.

Вместимость водовода

м³

Объем воды DV, который необходимо подать в водовод для повышения давления, находим из соотношения

.

По таблице принимаем

b_V=5×10^-10 м²/Н

Тогда

м²
Пример 1.2.

Стальной водовод диаметром d=0,4 м и длиной 1 км, проложенный открыто, находится под давлением p=2×10⁶ Па при температуре воды t₁=10 ‑­

°С. Определить давление воды в водоводе при повышении температуры воды до t₁=15 °С в результате наружного прогрева.

Решение.

Изменение температуры

Dt=t₂-t₁=15-10= 5 °С.
^

Объем водовода

м².

Увеличение давления в водоводе определяем по формулам
откуда

.

По таблице находим

b_t=155×10^-6 °С^-1

b_V=5×10^-10 Па^-1.

Подставляя полученные значения в формулу, получим:

.

Давление в водоводе после увеличения температуры

p_t=p+Dp=2×10⁶+1,55×10⁶=3,55×10⁶ Па = 3,55 МПа.
Пример 1.3.

Трубопровод испытывается с помощью повышения внутреннего давления, чтобы проверить, сохранится ли прочность стенок трубопровода при высоком рабочем давлении. Определить (дополнительно подаваемый) объем, на который сожмется вода в заглушенном с торцов трубопроводе с внутренним диаметром d=1 м, длиной l=2000 м, для повышения давления на Dp=10⁶ Па по сравнению с p_нач=9,81×10⁴ Па. Деформацией стенок трубопровода пренебречь.

Решение.

Первоначальный объем воды в трубопроводе

м²

Дополнительно подаваемый объем воды входит в выражение для коэффициента объемного сжатия

.

Отсюда
Приняв

,

получим
Полученный объем воды должен быть дополнительно подан насосом в трубопровод. При этом повышение давления достигнет требуемого значения.

Пример 1.4.

Определить, как изменится плотность пресной воды при увеличении давления от p₁= p_ат=9,81×10⁴ Па до p₂= 3×10⁷ Па. Первоначальное значение плотности равно 1000 кг/м³ в (диапазоне температур от 0 до 10 °С); коэффициент объемного сжатия воды равен 5×10^-10 Па^-1.

Решение.

При сжатии масса воды не изменяется. Объем занимаемый водой, уменьшается на относительную величину

÷DV/V÷=b_VDp.

Так как плотность однородной жидкости r=m/V, а масса воды при сжатии не изменяется, то

‑­

Таким образом, при давлении, равном 3×10⁷ Па, плотность пресной воды равна 1015 кг/м³. Отметим, что для увеличения давления на 3×10⁷ Па соответствует увеличению глубины, на которой находится данный объем воды, примерно на 300 м.
Пример 1.5.

Определить высоту капиллярного поднятия воды и опускания ртути в стеклянной капиллярной трубке диаметром d=0,001 м при температуре 20 °С.

Решение.

Согласно формуле высота капиллярного поднятия равна
По таблице плотность воды при t=20 °С равна 998,2 кг/м³; поверхностное натяжение s для воды равно 0,0726 Н/м. Тогда q = 0 для воды

м.

Для ртути при r_рт=13550 кг/м³ (при t=20°C), s=0,49 Н/м, q=50° получим

м.

^

Контрольные вопросы

1.
Каковы отличия жидкостей от твердых тел и газов? Как эти отличия связаны с молекулярным строением?

2.
В чем заключается гипотеза сплошности жидкости?

3.
Что такое плотность жидкости, от чего она зависит и какими единицами измеряется?

4.
Какие силы относятся к массовым и поверхностным? Какие виды напряжений действуют в жидкости?

5.
Что характерно для сжимаемости жидкостей, как связаны модуль упругости и коэффициент объемного сжатия жидкости?

6.
‑­

7.
Что такое вязкость жидкости? Какова связь динамической и кинематической вязкости, каковы их единицы измерения? Почему указанные величины имеют именно такие названия?

8.
Какова природа явления поверхностного натяжения? Какими единицами измерения пользуются для характеристики этого явления?

9.
Каковы особенности капиллярного поднятия или опускания жидкости? Зависит ли их количественная характеристика от параметров жидкости и рода материала стенок капилляра?

10.
В чем заключаются особые свойства воды? С чем связано существование этих особых свойств?

2. Способы описания движения жидкости

Кинематика жидкости - раздел гидромеханики, в котором изучаются виды и кинематические характеристики движений жидкости, но не рассматриваются силы, под действием которых происходит движение.

Динамика жидкости - раздел гидромеханики, который изучает законы движения жидкостей в зависимости от приложенных к ним сил.

Существует два способа описания движения жидкости: Лагранжа и Эйлера.

Способ Лагранжа. В этом способе предлагается рассматривать движение каждой жидкой частицы, для них необходимо указать координаты x, y, z как функции начального положения x₀, y₀, z₀ и времени t, называемых переменными Лагранжа

Уравнение неразрывности

Одним из основных уравнений гидродинамики является уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения вещества. Рассмотрим некоторый конечный объем V, выделенный в пространстве, где течет жидкость. Масса жидкости в этом объеме в данный момент времени(3.1)

Интегрирование производится по объему V. За единицу времени масса жидкости в объеме изменится на величину(3.2)

Эта величина будет отрицательной, если в объеме количество жидкости уменьшится и положительной, если увеличится.

Выделим на поверхности, ограничивающей объем V, некоторую единичную площадку, через которую проходит нормаль n, направленная во внешнюю сторону (рис.3.1). Тогда в единицу времени через эту площадку будет протекать количество жидкости . Эта величина будет положительной, если жидкость вытекает из объема, и отрицательной, если жидкость втекает в него. Интегрируя по всей замкнутой поверхности s, охватывающей объем V, получим изменение количества жидкости за единицу времени (3.3)

Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему по выражению Остроградского-Гаусса: (3.4)

Приравнивая оба выражения, получим: (3.5)

где , читается дивергенция ru.

Таким образом, (3.6)

Так как это выражение должно быть верным для любого объема V, то примем подынтегральное выражение равным нулю: (3.7)

Это уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения вещества.

В случае, если жидкость несжимаемая (r=const), то уравнение неразрывности перепишется в виде(3.8)

Для потока несжимаемой (капельной) жидкости в данный момент времени расход по длине потока не изменяется и уравнение неразрывности имеет вид(3.9)

При установившемся движении расход жидкости не изменяется как во времени, так и по длине, т.е. ^ Q = const.

Пример 3.1.

В трубе диаметром d₁ = 250 мм поток имеет среднюю скорость = 0,6 м/с. Затем труба плавно сужается до диаметра d₂ = 125 мм. Определить расход и среднюю скорость в трубе меньшего диаметра.

Решение.

Решение основывается на уравнении неразрывности 3.9. Поскольку

,

находим:

м/с.

Расход Q = 0,6×(3,14×0,25²/4) = 0,029 м³/с.
^

Контрольные вопросы

1.
Какое количество жидкости будет протекать через единичную площадку?

2.
В каких условиях не стоит пренебрегать сжимаемостью жидкости в гидравлике?

3.
Что означает слово дивергенция?

4.
Для чего используется уравнение Остроградского- Гаусса?

5.
Какой из фундаментальных законов природы отражает уравнение неразрывности?

6.
Напишите уравнение неразрывности для неустановившегося движения сжимаемой жидкости.

^ 4. Уравнение Эйлера

Выделим в жидкости некоторый объем V (рис.3.1). На этот объем со стороны окружающей жидкости будет действовать сила гидростатического давления, которая равна интегралу, взятому по поверхности рассматриваемого объема. (4.1)

Преобразуем этот интеграл по поверхности s в интеграл по объему ^ V по формуле Остроградского-Гаусса (4.2)

где Ñp - вектор-градиент функции p, координаты которого . Таким образом, на каждую единицу объема жидкости действует сила - -Ñp.

‑­

Так как жидкость находится в поле тяжести Земли, то на каждую единицу ее объема действует массовая сила rg, где g- ускорение свободного падения.

Напишем уравнение движения единичного элемента жидкости. Для этого, согласно второму закону Ньютона, приравняем силу произведению массы единицы объема жидкости r на ее полное ускорение du/dt (2.7)(4.3)или (4.4)

Уравнение (4.4) называется уравнением движения Эйлера (1755 г.).

При этом выводе уравнения движения совершенно не учитывались процессы диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие вязкости жидкости и теплообмена между различными участками. Кроме силы тяжести, на жидкость могут действовать другие массовые силы, которые мы не рассмотрели, например центробежная сила инерции переносного движения и кориолисова сила инерции. Эти силы могут проявляться, например, в криволинейном канале, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w.

Уравнение (4.4) перепишем в проекциях на оси координат в следующем виде (ось 0z направим вверх от центра Земли)(4.5)

В задачах динамики жидкости массовые силы обычно считаются известными. Неизвестными являются функции давления, проекции скорости и плотность - всего пять неизвестных функций. Для определения неизвестных переменных используется система уравнений Эйлера, уравнение неразрывности и уравнение состояния среды (например, для несжимаемой жидкости это уравнение r=const).

‑­

Контрольные вопросы.

1.
Чем отличается модель «невязкая жидкость»?

2.
Как замыкается система уравнений Эйлера для движения невязкой жидкости? Какие величины в них известны, а какие нет?

3.
Запишите уравнения движения невязкой жидкости для неустановившегося и установившегося движения.

^ 5. Уравнение Бернулли

Рассмотрим движение идеальной жидкости - жидкости, лишенной вязкости. Умножим каждую строку (4.5) соответственно на dx, dy, dz. (5.1)

После сложения всех членов уравнения (5.1) следует (5.2)

Так как , то (5.3)или(5.4)

После интегрирования выражения (5.4) получим(5.5)

Это уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения энергии.

Напишем уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости в двух различных сечениях вдоль линии тока (5.6)

‑­

Поскольку все члены уравнения имеют линейную размерность, их можно интерпретировать, как высоты (рис.5.1): z - геометрическая высота, или высота положения; p/rg - высота, соответствующая давлению; u²/2g - скоростная высота. Отложив все эти высоты от плоскости сравнения 0-0, получим напорную линию. Линия, соответствующая сумме высот z + p/rg, называется пьезометрической. Падение пьезометрической линии на единицу длины называется пьезометрическим уклоном i_п.

Каждый член уравнения Бернулли интерпретируется с энергетической точки зрения. Примем плоскость сравнения за плоскость нулевой потенциальной энергии, тогда масса жидкости m на высоте z будет иметь потенциальную энергию mgz. Следовательно, z=mgz/mg выражает потенциальную энергию, отнесенную к единице веса, называемую удельной потенциальной энергией положения.

Величине p/rg также придается энергетический смысл. Рассмотрим элементарную струйку с площадью живого сечения dw, на это сечение действует сила давления pdw и жидкость имеет скорость u. Жидкие частицы, расположенные в данном сечении, за время dt переместятся на расстояние udt и сила давления произведет работу на этом пути, которая равна pdwudt. Тогда , т.е. второй член уравнения Бернулли представляет собой работу силы давления, отнесенной к единице веса жидкости.

‑­

Масса жидкости m при движении со скоростью u имеет кинетическую энергию E_к=mu²/2. Удельная кинетическая энергия (т.е. отнесенная к единице веса - E_к /mg) будет u²/2g.

Сумма всех членов уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию жидкости в сечении потока, для которой в гидравлике используется термин "напор", обозначаемый буквой Н (рис.5.1).

В случае вязкой жидкости часть энергии уйдет на преодоление сил вязкости и превращается из механической в тепловую, таким образом происходит диссипация энергии. Уравнение (5.6) перепишется в виде(5.7)

Таким образом, на участке между сечениями 1-1 и 2-2 происходит потеря напора (потеря удельной энергии) h_тр.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: