|
|
Формулы Лапласа и ПуассонаСхема Бернулли Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания. Примерами этому может служить: извлечение наудачу из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, одного белого шара (с возвращением), проверка на стандартность детали произведенной в некоторых постоянных технологических условиях, проверка того, что при опускании монеты кофейный автомат сработает правильно и многое другое. Эти события, можно описать одной схемой, которая называется схемой Бернулли. Пусть производится n последовательных независимых испытаний. Результат каждого испытания (события А) будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p. Вероятность P(
Пример 1.Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар. Решение. В приведенных выше обозначениях n=8; p=1/4; q=3/4; k=5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:
Пример 2.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)? Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р= 1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны: Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести: P6C)=C?pV=6-5-4/(l-2-3)-A/2K.A/2K=5/16. Так как Я4 B) > Яв C), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести. Пример 3.Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются. Пример 4.В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. Пример 5.Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. Пример 6.а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4; б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8. Формулы Лапласа и Пуассона При больших n использование формулы Бернулли затруднительно, в этих случаях для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют: либо формулу Лапласа (локальная теорема Лапласа) либо формулу Пуассона Пример 1. Найти вероятность выпадения ровно 50 «орлов» при 100 бросаниях монеты. Решение. Для вычисления воспользуемся формулой Лапласа. Имеем: n=100, k=50, p=0.5, q=0.5. è è Пример 2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. Пример 3. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. Пример 4.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента. Решение. Имеем: n=1000 (очень велико), p=0.002 (очень мало), λ=np=2, k=3. Применяем формулу Пуассона, тогда искомая вероятность равна:
Пример 5.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0.003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок. Решение. Имеем: λ=np=1000·0.003=3. По формуле Пуассона имеем:
Пример 6.Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты. Решение. Для решения подобных задач применяют интегральную теорему Лапласа: вероятность появления события при n испытаниях в интервале от k1 раз до k2 раз вычисляется по следующей формуле
где функция Функция При x≥5 считают Имеем: n=100, k1=47, k2=57 p=0.5, q=0.5. è Пример 7. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз. Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
где функция è а) По условию, n = 100; р=0,8; q=О,2; k1=75; k2=90. Вычислим х' и х": è è Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т. е. Ф(—х) — —Ф(х), получим
По таблице приложения 2 найдем: Ф(2,5) =0,4938; Ф(1,25) =0,3944. Искомая вероятность б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75 либо 76 … либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять k1=75, k2=100. Тогда è è По таблице приложения 2 найдем Ф(1,25) =0,3944; Ф(5)=0,5. Искомая вероятность в) События «A появилось не менее 75 раз» и «A появилось не более 74 раз» противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность
Пример 8. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз. Пример 9. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний. Пример 10. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз? Решение. По условию, р=0,8; q = 0,2; k1=75; k2 = n; Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Подставляя данные задачи, получим
или 0,9= Очевидно, число испытаний и > 75, поэтому Ф( Таким образом, По таблице приложения 2 найдем Ф(1,28)=0,4. Отсюда и из последнего соотношения, учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим
Решив это уравнение, как квадратное относительно Пример 11. Вероятность появления положительного результата в каждом из п опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
) события 
обозначим через q: P( 
, где 
.
.
, где 
и 
(функция 
- четная ( 
), ее значения табулированы, таблица, позволяющая вычислять значения функции 
, имеется во всех учебниках по теории вероятностей),
, где λ=np=const – среднее число появлений события в n испытаниях называется параметром распределения Пуассона, а сама формула является математической моделью «редких, но массовых явлений». То есть при небольших значениях вероятностей p (меньших 0.1) и больших n более точный результат дает формула Пуассона.
0, 
.
.
.
.
,
вычисляется с помощью таблиц.
- нечетная: 
.
.
, 
-1,25 , 
.
2,5 , 
= Ф(2,5)-Ф(-1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
5 , 
= 0,5+0,3944=0,8944.
= 1- 
=0,9.
. Поскольку функция Лапласа - возрастающая и Ф(4)≈0,5, то можно положить
)=0,5. Следовательно, 0,9= 
=-0.4
=-1,28.
, получим