Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая
Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы, например, силы инерции переносного движения при так называемом относительном покое (см, пп. 1,10 и 1,11). В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, у и z и давлением р (рис, 1,8).
Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz.
Пусть точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила, отнесенная к единице массы (см. п. 1,2), равны X, Y и Z. Тогда массовые силы будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.
Давление р есть функция координат х, у и z, но вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково (см. п. 1.4). При переходе от точки М, например, к точке N изменяется лишь координата х на бесконечно малую величину dx, в связи с чем функция р получает приращение, равное частному дифференциалу (др/дх)dxr поэтому давление в точке N равно
др/дх)dx,
где др/дх — градиент давления вблизи точки М в направлении оси x.
Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, нормальных к оси x, например в точках N' и М', видим, что они отличаются на одинаковую величину
.
Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси х равна:
Аналогичным образом, но через градиенты давления др/ду и dp/dz выразим разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.
На выделенный параллелепипед действуют массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде:
(1.22)
Разделим эти уравнения на массу dxdydz параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя dx, dy и dz к нулю. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М:
(1.23)
Система (1.23) дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера.
Для практического пользования удобнее вместо системы уравнений (1.23) получить одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных. Для этого умножим первое из уравнений (1.23) на dx, второе — на dy, третье — на dz и, сложив все три уравнения, получим:
Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т. е. функции р (x, y, z), поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде:
или
(1.24)
Полученное уравнение выражает приращение давления dp при изменении координат на dx, dy и dz в общем случае равновесия жидкости.
Пьезометрическая высота. Вакуум. Измерение давления
Пьезометрическая высота, равная p/( g), представляет собой высоту столба данной жидкости, соответствующую данному давлению р (абсолютному или избыточному). Пьезометрическую высоту соответствующую избыточному давлению, можно определить по пьезометру — простейшему устройству для измерения давления.
Пьезометр представляет собой вертикальную стеклянную трубку, верхний конец которой открыт в атмосферу, а нижний присоединен к емкости, в которой измеряется давление (рис. 1.9).
Рис. 1.9. Пьезометр, присоединенный к баку
где Рабс — абсолютное давление в жидкости на уровне присоединения пьезометра; Ра — атмосферное давление.
Отсюда высота подъема жидкости в пьезометре:
где Ризб — избыточное давление на уровне присоединения пьезометра.
На рис. 1.12 показаны схемы жидкостных манометров. Так называемый U-образный манометр (рис. 1.12, а) представляет собой изогнутую стеклянную трубку, содержащую ртуть. При намерении небольших давлений газа вместо ртути применяют спирт, воду и иногда тетрабромэтан (δ = 2,95). Если измеряется давление жидко- сти в точке М, и соединительная трубка заполнена этой же жид костью, то следует учитывать высоту расположения манометра над точкой М. Так, избыточное давление в точке М:
Чашечный манометр (рис. 1.12, б) удобнее описанного выше тем, что при пользовании им необходимо фиксировать положение лишь одного уровня жидкости (при достаточно большом диаметре чашки по сравнению с диаметром трубки уровень жидкости в чашке можно считать неизменным).
Для измерения разности давлений в двух точках служат дифференциальные манометры, простейшим из которых является U-образный манометр (рис, 1.12, в). Если при помощи такого манометра, обычно заполняемого ртутью, измерена разность давлений р1 и р2 в жидкости плотностью р, которая полностью заполняет соединительные трубка, то:
Для измерения малых перепадов давления воды применяют двухжидкостный микроманометр, представляющий собой перевернутую U-образную трубку с маслом или керосином в верхней части (рис.1. 12, г). Для этого случая:
Двухжидкостный чашечный манометр (рис. 1.12, д) предназначен для измерения давлений или разрежений воздуха в интервале от 0,01 до 0,05 МПа, Таким манометром, например, пользуются при опытах в скоростных аэродинамических трубах, В чашку заливают ртуть, а в трубку — спирт, керосин или иную жидкость. Соответствующим подбором диаметров верхнего d1 и нижнего d2 участков трубки можно получить любую условную плотность Рус входящую в формулу:
где р — измеряемое давление (или разрежение); Н — показание манометра.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|