Функции Бесселя произвольного порядка.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет математики и информационных технологий

ОТЧЕТ

О ВЫПОЛНЕНИИ СЕМЕСТРОВОЙ РАБОТЫ

«Цилиндрические функции. Функции Бесселя в математике»

студента 2 курса, ПМб-102 группы

Самородов Евгений Александрович

Руководитель: С.А. Солодков

Волгоград 2012

Содержание

1. Введение …………………................................................................- 2

2. Цель семестровой работы …………………………….……….….- 3

3. Функции Бесселя в математике ……………………………...…...- 4

3.1Функции Бесселя произвольного порядка ……………….....- 4

3.2Модифицированные функции Бесселя любого порядка ..…- 6

3.3 Функции Кельвина ………………………………………......- 8

4. Дополнительные формулы …………………………………...…..- 9

4.1Разложение в ряд……………………………………….…..…- 9

4.2Интегральные представления ……………………….....…....- 10

5. Описание программы на ЭВМ ………………………..……...…..- 11

6. Заключение ………………………………………………………..- 12

Список литературы ……………………………………..………...…..- 13

Приложение 1. Код программы …………………………….…..……- 14

Введение

Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка

(1)

где Z – комплексное переменное,

u – параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.

Термин «цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области.

Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций.

Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

2) теплопроводность в цилиндрических объектах;

3) формы колебания тонкой круглой мембраны;

4) скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

Функции Бесселя являются, по-видимому, наиболее часто употребляемыми высшими трансцендентными функциями. Они чаще всего встречаются в связи с решением дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных, а также в связи с некоторыми определенными интегралами. Опишем кратко оба типа приложений, причем начнем с последнего.

Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках.

Цель семестровой работы:

Изучение функций Бесселя и разработка программы на ЭВМ для визуального наблюдения графиков этих функций.

Функции Бесселя произвольного порядка.

Функции Бесселя являются решениями дифференциального уравнения Бесселя

Вообще говоря, v и z могут быть любыми числами, но сейчас мы будем предполагать, что v не является целым числом. Дифференциальное уравнение (1) является предельным случаем гипергеометрического дифференциального уравнения. Оно имеет регулярную особую точку при z = 0 и нерегулярную особую точку при z — со. Все остальные точки являются для дифференциального уравнения обыкновенными. Обычный метод получения решения линейного дифференциального уравнения в окрестности регулярной особой точки приводит к решениям:

и J_-V(z). Первое решение J_v (z) называют функцией Бесселя первого рода; z — независимое переменное, v — порядок функции Бесселя. Легко видеть, что ряд для z^-vJ_v(z) сходится абсолютно и равномерно в любой ограниченной области изменения г и v. Равенство (2) можег быть записано с помощью соотношений Куммера 6.3 (7) в виде

Линейные комбинации

также являются решениями дифференциального уравнения (1); Yv называют функцией Бесселя второго рода или функцией Неймана, ну и Ну являются функциями Бесселя третьего рода (их называют также первой и второй функциями Ганкеля). Из (5) и (6) имеем

Из определения непосредственно вытекает, что

Мы будем обозначать через z (соответственно v) число, комплексно

сопряженное с z (соответственно v). В этих обозначениях имеем

В частности, если порядок v является вещественным числом, а независимое переменное z положительно, то функции J_v и Y_v принимают вещественные значения. Все четыре функции Бесселя однозначны в плоскости г, разрезанной вдоль отрицательной полуоси от 0 до -со. Если v не является целым числом, то они имеют точку ветвления при z = 0. Функция Бесселя первого рода является, очевидно, целой функцией от v. Ниже будет показано, что при соответствующем определении для целых значений v = n функции Бесселя второго и третьего рода также являются целыми функциями от v.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: