Метод непосредственного интегрирования

Первообразная функции.

Неопределенный интеграл

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную (или дифференциал). Теперь перейдем к изучению обратной задачи, которая имеет очень большое значение в анализе и его приложениях: найти функцию , зная ее производную (или дифференциал), т.е. выполняется условие . Искомая функция называется первообразной для функции .

Например, для функции первообразной является функция , т.к. выполняется условие .

Определение 1.1. Функция называется первообразной для функции на интервале , если для любого выполняется равенство

или

.

Замечание. Понятие первообразной можно ввести и для других промежутков (отрезка, полуинтервала – конечного или бесконечного).

Например, для функции первообразной является функция , так как .

Но не только функция является первообразной для функции . Функции , , тоже являются первообразными для функции . Причем в функцию вместо можно подставить любое действительное число. Таким образом, напрашивается следующий вывод: первообразных у данной функции не одна, а бесчисленное множество, так как постоянная величина может принимать любое значение; производных же у данной функции, разумеется, только одна.

Сформулируем (без доказательства) основную теорему о первообразной.

Теорема 1.1. Всякая непрерывная на интервале функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

В данной теореме включены два утверждения. Рассмотрим их.

1) Выражение , где - какая-нибудь первообразная на интервале для , а - произвольная постоянная, охватывает все без исключения первообразные для . Придавая различные численные значения , мы будем получать различные первообразные.

2) Пусть и - две первообразные на интервале для функции , т.е. и . Тогда , где .

Определение 1.2. Совокупность всех первообразных функций , где для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , т.е.

(1.1)

Здесь называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, символ - знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Правильность интегрирования всегда можно проверить дифференцированием результата. Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций.

График первообразной от функции называется интегральной кривой функции . Очевидно, мы получим любую другую интегральную кривую, если пере-

параллельном движении одной из них по вертикали.

Свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств (без доказательства) неопределенного интеграла, вытекающих из его определения. Некоторые свойства мы докажем.

Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

,

Благодаря свойству 1 правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

Свойство 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

.

Свойство 5 (инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Пример 1.1. Найти интеграл .

Решение. [по свойству 3]= [по свойству 5]= [по свойству 2]= .

,

Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления и использование свойств неопределенного интеграла.

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных (т.е. интегрирования функций) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы наизусть и уметь их узнавать.

Таблица основных интегралов

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5 ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. .

9. ;

10. ;

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.2. Найти следующие интегралы:

1)

;

2)

;

3) ;

4)

.

,

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: