Метод непосредственного интегрирования

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Перед изучением темы целесообразно повторить известные из раздела “Дифференциальное исчисление функции одной переменной” понятия производной и дифференциала функции, таблицы производных и дифференциалов, а также технику вычисления производных.

Теоретические вопросы

1. Дайте определение первообразной функции и интеграла от заданной функции на заданном промежутке.

2. Какова общая формула записи всех первообразных от заданной функции

3. Что называется неопределенным интегралом от ; как он обозначается? Что такое подынтегральное выражение?

4. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения.

5. В чем разница между выражениями: и ?

6. Запишите таблицу основных интегралов. Покажите, как каждая из ее формул получается из соответствующей формулы для производной.

7. Докажите, что , где a – постоянная, не равная нулю.

8. Чему равен неопределенный интеграл от суммы дифференциалов?

9. Чему равен интеграл , если известно, что ?

10. На каком свойстве дифференциала основан метод замены переменной или подстановки?

11. При каких условиях применим метод замены переменной?

12. Чему равен интеграл .

13. Покажите, что правило интегрирования по частям есть следствие правила дифференцирования произведения функций.

14. Назовите классы интегралов, которые можно вычислить интегрированием по частям.

15. В чем особенности вычисления интегралов: , ?

16. Выведите рекуррентную формулу для вычисления интеграла ,

17. Приведите примеры интегралов, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции.

Практические задания

Отыскание неопределенного интеграла некоторой функции называется интегрированием. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования соответствует формула интегрирования

Следует заметить, что термин "первообразная" функция, как же термин "производная" функция введен французским математиком Лагранжем.

Как вы убедились при изучении предыдущего раздела "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" производная от любой элементарной функции есть обязательно функция элементарная, которая легко вычисляется по известным вам правилам. Первообразная же от любой элементарной функции хотя всегда и существует, но во многих случаях не является элементарной, а представляет собой новую трансцендентную функцию.

Существует три основных метода отыскания неопределенных интегралов: 1) метод непосредственного интегрирования, 2) метод замены переменной, 3) метод интегрирования по частям. Остановимся на каждом из них.

Метод непосредственного интегрирования

Он опирается на таблицу основных интегралов и простейшие правила интегрирования.

Функция называется первообразной функцией от функции , если она удовлетворяет условию .

Общее выражение совокупности всех первообразных от функции называется неопределенным интегралом от этой функции:

, если .

Свойства неопределенного интеграла.

I. или .

II. или .

III. ,

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

IV. ,

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов от всех слагаемых.

Таблица основных интегралов

10.

11.

Следует заметить, что все эти формулы справедливы независимо от того, является ли u независимой переменной либо какой угодно функцией независимой переменной.

Простейшие правила интегрирования

1. , где .

2. .

3. Если то , где .

Очень часто встречаются случаи, когда а=1 либо b=0.

Вспомним таблицу дифференциалов и запишем ее в следующем виде:

1. 2. , .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. .

Примечание 1. Вообще

Этой таблицей мы будем широко пользоваться и представление в виде мы будем называть «подведением функции под знак дифференциала».

Например, . Функцию подвели под знак дифференциала.

Поскольку интегрирование – обратное действие по отношению к дифференцированию, то благодаря этому проверка результата интегрирования может осуществляться дифференцированием его. Полученная производная должна совпадать с подынтегральной функцией.

Непосредственным интегрированием будем называть интегрирование с помощью таблицы основных интегралов, простейших правил интегрирования и тождественных преобразований подынтегральной функции.

Пример 1. Вычислим интегралы:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

Решение. 1. Записываем подынтегральную функцию в виде степени с отрицательным дробным показателем и применяем формулу 1 из таблицы основных интегралов:

Замечание 1. Если подынтегральное выражение можно преобразовать к виду произведения степени на дифференциал основания , то интеграл вычисляется по формуле

2. Числитель подынтегральной функции делим почленно на знаменатель. Затем применяя правила 2. 1 и формулу 1 из таблицы основных интегралов:

Замечание 2. В примере 2 и далее произвольные постоянные, входящие, по определению, в каждый из складываемых неопределенных интегралов, объединяем в одну произвольную постоянную.

3. Возводим числитель в квадрат, делим почленно числитель на знаменатель и далее поступаем как в примере 2.

4. Сначала исключаем целую часть рациональной дроби, деля числитель на знаменатель. Имеем:

Применяя правило 2, получаем:

Первые три интеграла правой части вычисляются по правилу 1 и формуле 1из таблицы, а к последнему интегралу применяем правило 3 интегрирования при и и формулу 2 из таблицы основных интегралов:

Замечание 3. Последний интеграл можно было вычислить используя формулы 1 и 3 из таблицы дифференциалов:

Другими словами, функцию подвели под знак дифференциала и получили табличный интеграл.

Замечание 4. Если подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь, у которой степень многочлена числителя больше или равна степени знаменателя, то, прежде всего, следует выделить целую часть путем деления числителя рациональной дроби на знаменатель.

5. Чтобы свести данный интеграл к табличному, достаточно прибавить и вычесть в числителе подынтегральной функции получаем:

Следует заметить, что примененные здесь прием добавления в числителе подынтегральной функция взаимно уничтожающихся слагаемые иногда бывает полезен.

6. Для нахождения интеграла применяем правило 1, а затем заменяем единицу в числителе подынтегральной функции выражением и используем формулы 6 и 7 таблицы основных интегралов:

7. Освободимся в знаменателе от иррациональности, воспользуемся правилами 2 к 3 интегрирования и формулой 1 и 5 таблицы основных интегралов:

8. Чтобы свести данные интеграл к табличному, достаточно подвести под знак дифференциала множитель и разделить весь интеграл на . Тогда получаем табличные интеграл 8 при , .

3амечание 5. Совершенно аналогично вычисляются интегралы вида

, , .

Необходимо в каждом из них ввести под знак дифференциала множитель b разделить интеграл на этот множитель. Тогда получаем табличные интегралы соответственно 10 и 9 или 11, причем u=bx.

Замечание 6 Метод непосредственного интегрирования дает возможность вычислять интегралы вида .

Действительно, так как (см. примечание 1) , то

Здесь положили u=f(x). Итак, если числитель подынтегральной функции равен производной ее знаменателя, то интеграл равен логарифму модуля знаменателя плюс произвольная постоянная. Рассмотрим примеры.

Пример 2. Найдем интеграл .