Определение и свойства определенного интеграла
Пусть на сегменте [a,b] задана функция f(x). Выполним следующие операции:
1. С помощью точек деления разобьем [a,b] на n малых сегментов: .
2. На каждом малом сегменте выберем произвольную точку , , составим произведение .
3. Составим, так называемую, интегральную сумму всех таких произведений
.
Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма , когда стремится к нулю.
Таким образом,
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами (границами) интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, а интервал [a,b] - областью интегрирования.
Функция f(x), для которой существует конечный , называется интегрируемой на промежутке [a,b], причем указанный предел не зависит ни от способа разбиения сегмента [a,b] на части, ни от выбора точек в каждой из них.
В теореме существования определенного интеграла указывается на то, что всякая непрерывная на промежутке [a,b] функция f(x) является интегрируемой на нем.
Впредь подынтегральную функцию будем считать непрерывной.
Без подробных объяснений приведем некоторые свойства определенных интегралов.
1. .
2.
3. .
4. Если на [a,b], то .
5. Если для , то
а)
б)
6. Теорема о среднем: ,
где - непрерывна на [a,b].
7. .
8.
Методы вычисления определенного интеграла
Вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано в большими трудностями даже в тех случаях, когда подынтегральные функции являются простыми. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов.
Ниже будет сформулирована теорема Ньютона-Лейбница, позволяющая сводить вычисления определенного интеграла к неопределенному. Эта теорема играет фундаментальную роль в математическом анализе.
Теорема Ньютона-Лейбница
Пусть f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и F(x) - одна из ее первообразных, тогда справедлива формула
Пример 22. Вычислить .
Решение. Используя формулу Ньютона-Лейбница, а также табличный интеграл 16, получим
.
Пример 23. Вычислить .
Решение. Пусть , тогда
Если то если , то
Следовательно,
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Пусть и - непрерывные функции вместе со своими первыми производными на [a,b], тогда справедлива формула интегрирования по частям:
Пример 24. Вычислить интеграл .
Решение. Применим полученную формулу
Приложения определенного интеграла.
Вычисление площади плоской фигуры.
Если задана непрерывная функция на [a,b], , то определенный интеграл с геометрической точки зрения представляет собой площадь так называемой, криволинейной трапеции (рис.4.1).
(4.1)
Пусть криволинейная трапеция с основанием [a,b] ограничена снизу кривой (рис.4.2), то из соображений симметрии видим, что
(4.2)
В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций и применить формулы (4.1) или (4.2) (рис.4.3. и 4.4)
Пример 25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение. - парабола. Найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.
; или ,
Если , то - вершина параболы.
или или .
- прямая линия.
Найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы:
или .
Для вычисления площади заштрихованной области воспользуемся формулой (4.4)
Пример 26. Вычислить площадь двух частей, на которые круг разделен параболой .
Решение. Сделаем чертеж (рис.4.6)
- окружность с центром
в начале координат и радиусом .
- парабола, имеющая вершину
в т.О(0,0)
Найдем точки пересечения параболы
и окружности:
- не удовлетворяет условию .
Если , то или ,
Найдем площадь заштрихованной области по формуле (4.4), в которой изменены переменные интегрирования:
;
.
.
Найдем площадь второй (незаштрихованной) части, на которую круг разделен параболой
Список рекомендуемой литературы
1. Лунгу К.Н., Макаров Е.В. Высшая математика. Руководство к решению задач. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 216с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. ТТ.1- 2, М.: Интеграл-Пресс, 2001,2002. - 416с., 544с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ЧЧ. 1-2. - М.: Высшая школа, 1980-2000. - 304с., 416с.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|