Сделай Сам Свою Работу на 5

Определение и свойства определенного интеграла





 

Пусть на сегменте [a,b] задана функция f(x). Выполним следующие операции:

1. С помощью точек деления разобьем [a,b] на n малых сегментов: .

2. На каждом малом сегменте выберем произвольную точку , , составим произведение .

3. Составим, так называемую, интегральную сумму всех таких произведений

.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма , когда стремится к нулю.

Таким образом,

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами (границами) интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, а интервал [a,b] - областью интегрирования.

Функция f(x), для которой существует конечный , называется интегрируемой на промежутке [a,b], причем указанный предел не зависит ни от способа разбиения сегмента [a,b] на части, ни от выбора точек в каждой из них.

В теореме существования определенного интеграла указывается на то, что всякая непрерывная на промежутке [a,b] функция f(x) является интегрируемой на нем.

Впредь подынтегральную функцию будем считать непрерывной.

Без подробных объяснений приведем некоторые свойства определенных интегралов.



1. .

2.

3. .

4. Если на [a,b], то .

5. Если для , то

а)

б)

6. Теорема о среднем: ,

где - непрерывна на [a,b].

7. .

8.

 

Методы вычисления определенного интеграла

 

Вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано в большими трудностями даже в тех случаях, когда подынтегральные функции являются простыми. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов.

Ниже будет сформулирована теорема Ньютона-Лейбница, позволяющая сводить вычисления определенного интеграла к неопределенному. Эта теорема играет фундаментальную роль в математическом анализе.

 

Теорема Ньютона-Лейбница

 

Пусть f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и F(x) - одна из ее первообразных, тогда справедлива формула

Пример 22. Вычислить .

Решение. Используя формулу Ньютона-Лейбница, а также табличный интеграл 16, получим

.

 

Пример 23. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда

Если то если , то

Следовательно,

 



 

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

 

Пусть и - непрерывные функции вместе со своими первыми производными на [a,b], тогда справедлива формула интегрирования по частям:

Пример 24. Вычислить интеграл .

Решение. Применим полученную формулу

 

 

Приложения определенного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры.

Если задана непрерывная функция на [a,b], , то определенный интеграл с геометрической точки зрения представляет собой площадь так называемой, криволинейной трапеции (рис.4.1).

       
 
   
 

 

 


(4.1)

 

Пусть криволинейная трапеция с основанием [a,b] ограничена снизу кривой (рис.4.2), то из соображений симметрии видим, что

       
 
   
 

 


(4.2)

 

 

В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций и применить формулы (4.1) или (4.2) (рис.4.3. и 4.4)

 
 


 

 
 


Пример 25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. - парабола. Найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.

; или ,

Если , то - вершина параболы.

или или .

- прямая линия.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы:

или .

Для вычисления площади заштрихованной области воспользуемся формулой (4.4)

 

Пример 26. Вычислить площадь двух частей, на которые круг разделен параболой .



Решение. Сделаем чертеж (рис.4.6)

- окружность с центром

в начале координат и радиусом .

- парабола, имеющая вершину

в т.О(0,0)

Найдем точки пересечения параболы

и окружности:

- не удовлетворяет условию .

Если , то или ,

Найдем площадь заштрихованной области по формуле (4.4), в которой изменены переменные интегрирования:

;

.

.

Найдем площадь второй (незаштрихованной) части, на которую круг разделен параболой

Список рекомендуемой литературы

1. Лунгу К.Н., Макаров Е.В. Высшая математика. Руководство к решению задач. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 216с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. ТТ.1- 2, М.: Интеграл-Пресс, 2001,2002. - 416с., 544с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ЧЧ. 1-2. - М.: Высшая школа, 1980-2000. - 304с., 416с.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.