|
Сравнение полученных численных решений с точными значениями
Лабораторная работа № 5
Численное дифференцирование
Цель: освоить алгоритмы численного дифференцирования.
Задание:
1. Пусть сеточные представления функций заданы на отрезке [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h=0,01. Найти значения:
1) первой производной с первым порядком точности в узлах сетки, используя направленные разности «вперед», «назад».
2) первой производной со вторым порядком точности в узлах сетки.
3) второй производной во внутренних узлах сетки.
2. Полученные значения сравнить с точными значениями и оценить погрешность в указанных точках. Вычислить
, где
- точное значение производной в точке xi.
Точное значение производной для указанных вариантов содержится в приложении 1.
3. Сопоставить с теоретической оценкой погрешности.
1 вариант
|
| 2 вариант
|
| 3 вариант
|
| 4 вариант
|
| 5 вариант
|
| 6 вариант
|
| 7 вариант
|
| 8 вариант
|
| 9 вариант
|
| 10 вариант
|
| 11 вариант
|
|
Ход работы
Пусть функция задана таблично в узлах сетки:
Таблица 10.1
i
| xi
| yi
|
|
| 0,841470985
|
| 1,01
| 0,852160354
|
| 1,02
| 0,862606646
|
| 1,03
| 0,872795114
|
| 1,04
| 0,882710803
|
| 1,05
| 0,892338564
|
| 1,06
| 0,901663063
|
| 1,07
| 0,910668793
|
| 1,08
| 0,919340088
|
| 1,09
| 0,927661138
|
| 1,1
| 0,935616002
|
| 1,11
| 0,943188622
|
| 1,12
| 0,950362847
|
| 1,13
| 0,957122441
|
| 1,14
| 0,963451109
|
| 1,15
| 0,969332511
|
| 1,16
| 0,974750287
|
| 1,17
| 0,979688074
|
| 1,18
| 0,984129532
|
| 1,19
| 0,988058366
|
| 1,2
| 0,991458348
|
Вычисление первой производной с первым порядком точности, используя направленные разности «вперед»
Найдем значения первой производной с первым порядком точности в узлах сетки, используя направленные разности «вперед». Вычисления будем производить по формуле
(10.1)
Вычислим значение первой производной по формуле (10.1) в узле х0:
Результаты остальных вычислений поместим в таблицу 10.2
Таблица 10.2
i
| xi
| yi
| y`i
|
|
| 0,841470985
| 1,068936948
|
| 1,01
| 0,852160354
| 1,044629206
|
| 1,02
| 0,862606646
| 1,018846751
|
| 1,03
| 0,872795114
| 0,991568918
|
| 1,04
| 0,882710803
| 0,962776112
|
| 1,05
| 0,892338564
| 0,932449879
|
| 1,06
| 0,901663063
| 0,900572992
|
| 1,07
| 0,910668793
| 0,867129538
|
| 1,08
| 0,919340088
| 0,832104996
|
| 1,09
| 0,927661138
| 0,795486334
|
| 1,1
| 0,935616002
| 0,75726209
|
| 1,11
| 0,943188622
| 0,717422466
|
| 1,12
| 0,950362847
| 0,675959418
|
| 1,13
| 0,957122441
| 0,63286675
|
| 1,14
| 0,963451109
| 0,588140206
|
| 1,15
| 0,969332511
| 0,541777566
|
| 1,16
| 0,974750287
| 0,493778738
|
| 1,17
| 0,979688074
| 0,444145858
|
| 1,18
| 0,984129532
| 0,392883383
|
| 1,19
| 0,988058366
| 0,339998187
|
| 1,2
| 0,991458348
|
|
Вычисление первой производной с первым порядком точности, используя направленные разности «назад»
Найдем значения первой производной с первым порядком точности в узлах сетки, используя направленные разности «назад». Вычисления будем производить по формуле
(10.2)
Вычислим значение первой производной по формуле (10.2) в узле х1:
Результаты остальных вычислений поместим в таблицу 10.3
Таблица 10.3
i
| xi
| yi
| y`i
|
|
| 0,841470985
|
|
| 1,01
| 0,852160354
| 1,068936948
|
| 1,02
| 0,862606646
| 1,044629206
|
| 1,03
| 0,872795114
| 1,018846751
|
| 1,04
| 0,882710803
| 0,991568918
|
| 1,05
| 0,892338564
| 0,962776112
|
| 1,06
| 0,901663063
| 0,932449879
|
| 1,07
| 0,910668793
| 0,900572992
|
| 1,08
| 0,919340088
| 0,867129538
|
| 1,09
| 0,927661138
| 0,832104996
|
| 1,1
| 0,935616002
| 0,795486334
|
| 1,11
| 0,943188622
| 0,75726209
|
| 1,12
| 0,950362847
| 0,717422466
|
| 1,13
| 0,957122441
| 0,675959418
|
| 1,14
| 0,963451109
| 0,63286675
|
| 1,15
| 0,969332511
| 0,588140206
|
| 1,16
| 0,974750287
| 0,541777566
|
| 1,17
| 0,979688074
| 0,493778738
|
| 1,18
| 0,984129532
| 0,444145858
|
| 1,19
| 0,988058366
| 0,392883383
|
| 1,2
| 0,991458348
| 0,339998187
|
Вычисление первой производной со вторым порядком точности
Найдем значения первой производной со вторым порядком точности в узлах сетки. Вычисления будем производить по формулам:
(10.3)
(10.4) (10.5)
Вычислим значение первой производной по формуле (10.3) в узле х1:
Используя формулу (10.3.) вычислим значения первой производной со вторым порядком точности во внутренних узлах сетки, результаты вычислений поместим в таблицу 10.4. Значения в крайних узловых точках диапазона вычислим по формулам (10.4) – в точке х0, (10.5) - в точке х20.
Таблица 10.4
i
| xi
| yi
| y`i
|
|
| 0,841470985
| 1,081090818
|
| 1,01
| 0,852160354
| 1,056783077
|
| 1,02
| 0,862606646
| 1,031737979
|
| 1,03
| 0,872795114
| 1,005207835
|
| 1,04
| 0,882710803
| 0,977172515
|
| 1,05
| 0,892338564
| 0,947612996
|
| 1,06
| 0,901663063
| 0,916511436
|
| 1,07
| 0,910668793
| 0,883851265
|
| 1,08
| 0,919340088
| 0,849617267
|
| 1,09
| 0,927661138
| 0,813795665
|
| 1,1
| 0,935616002
| 0,776374212
|
| 1,11
| 0,943188622
| 0,737342278
|
| 1,12
| 0,950362847
| 0,696690942
|
| 1,13
| 0,957122441
| 0,654413084
|
| 1,14
| 0,963451109
| 0,610503478
|
| 1,15
| 0,969332511
| 0,564958886
|
| 1,16
| 0,974750287
| 0,517778152
|
| 1,17
| 0,979688074
| 0,468962298
|
| 1,18
| 0,984129532
| 0,418514621
|
| 1,19
| 0,988058366
| 0,366440785
|
| 1,2
| 0,991458348
| 0,31355559
|
Вычисление второй производной
Найдем значения второй производной со вторым порядком точности во внутренних узлах сетки. Вычисления будем производить по формуле:
(10.6)
Вычислим значение второй производной по формуле (10.6) в узле х1:
Результаты остальных вычислений поместим в таблицу 10.5
Таблица 10.5
i
| xi
| yi
| y``i
|
|
| 0,841470985
|
|
| 1,01
| 0,852160354
| -2,43077411
|
| 1,02
| 0,862606646
| -2,57824558
|
| 1,03
| 0,872795114
| -2,72778322
|
| 1,04
| 0,882710803
| -2,87928063
|
| 1,05
| 0,892338564
| -3,03262334
|
| 1,06
| 0,901663063
| -3,18768865
|
| 1,07
| 0,910668793
| -3,34434548
|
| 1,08
| 0,919340088
| -3,50245413
|
| 1,09
| 0,927661138
| -3,6618662
|
| 1,1
| 0,935616002
| -3,8224244
|
| 1,11
| 0,943188622
| -3,98396241
|
| 1,12
| 0,950362847
| -4,14630478
|
| 1,13
| 0,957122441
| -4,3092668
|
| 1,14
| 0,963451109
| -4,47265439
|
| 1,15
| 0,969332511
| -4,63626406
|
| 1,16
| 0,974750287
| -4,79988278
|
| 1,17
| 0,979688074
| -4,96328799
|
| 1,18
| 0,984129532
| -5,1262475
|
| 1,19
| 0,988058366
| -5,28851956
|
| 1,2
| 0,991458348
|
|
Сравнение полученных численных решений с точными значениями
Оценим погрешность полученных решений, сравнивая их с точными значениями первой и второй производной в узлах сетки. Результаты соответствующих вычислений поместим в таблицы 10.6, 10.7.
Таблица 10.6
i
| xi
| точное
|
Направленная разность
«вперед»
|
Направленная разность
«назад»
|
Симметричная разность
|
|
| 1,080604612
| 0,01166766
|
| 0,00048621
|
| 1,01
| 1,05702709
| 0,01239788
| 0,01190986
| 0,00024401
|
| 1,02
| 1,03198552
| 0,01313877
| 0,01264369
| 0,00024754
|
| 1,03
| 1,005458734
| 0,01388982
| 0,01338802
| 0,0002509
|
| 1,04
| 0,977426588
| 0,01465048
| 0,01414233
| 0,00025407
|
| 1,05
| 0,947870045
| 0,01542017
| 0,01490607
| 0,00025705
|
| 1,06
| 0,916771249
| 0,01619826
| 0,01567863
| 0,00025981
|
| 1,07
| 0,884113617
| 0,01698408
| 0,01645937
| 0,00026235
|
| 1,08
| 0,849881918
| 0,01777692
| 0,01724762
| 0,00026465
|
| 1,09
| 0,814062361
| 0,01857603
| 0,01804264
| 0,0002667
|
| 1,1
| 0,776642683
| 0,01938059
| 0,01884365
| 0,00026847
|
| 1,11
| 0,737612239
| 0,02018977
| 0,01964985
| 0,00026996
|
| 1,12
| 0,696962092
| 0,02100267
| 0,02046037
| 0,00027115
|
| 1,13
| 0,654685109
| 0,02181836
| 0,02127431
| 0,00027202
|
| 1,14
| 0,610776046
| 0,02263584
| 0,0220907
| 0,00027257
|
| 1,15
| 0,565231649
| 0,02345408
| 0,02290856
| 0,00027276
|
| 1,16
| 0,518050748
| 0,02427201
| 0,02372682
| 0,0002726
|
| 1,17
| 0,469234348
| 0,02508849
| 0,02454439
| 0,00027205
|
| 1,18
| 0,418785729
| 0,02590235
| 0,02536013
| 0,00027111
|
| 1,19
| 0,366710542
| 0,02671235
| 0,02617284
| 0,00026976
|
| 1,2
| 0,313016901
|
| 0,02698129
| 0,00053869
|
| 0,02671235
| 0,02698129
| 0,00053869
|
Таблица 10.7
i
| xi
| точное
|
|
|
|
|
|
| 1,01
| -2,43059363
| 0,000180479
|
| 1,02
| -2,57807331
| 0,000172269
|
| 1,03
| -2,72761982
| 0,000163403
|
| 1,04
| -2,87912676
| 0,000153867
|
| 1,05
| -3,03247969
| 0,000143644
|
| 1,06
| -3,18755593
| 0,000132721
|
| 1,07
| -3,34422439
| 0,000121083
|
| 1,08
| -3,50234541
| 0,000108717
|
| 1,09
| -3,66177059
| 9,56107E-05
|
| 1,1
| -3,82234265
| 8,17529E-05
|
| 1,11
| -3,98389528
| 6,71328E-05
|
| 1,12
| -4,14625304
| 5,17412E-05
|
| 1,13
| -4,30923123
| 3,55698E-05
|
| 1,14
| -4,47263578
| 1,86116E-05
|
| 1,15
| -4,6362632
| 8,60816E-07
|
| 1,16
| -4,79990047
| 1,76867E-05
|
| 1,17
| -4,96332502
| 3,70337E-05
|
| 1,18
| -5,12630468
| 5,71814E-05
|
| 1,19
| -5,28859769
| 7,81293E-05
|
| 1,2
|
|
|
| 0,000180479
|
3. Сопоставление с теоретической оценкой погрешности
Оценим теоретическую погрешность полученных решений.
3.1 Сопоставление с теоретической оценкой погрешности для вычисления первой производной с первым порядком точности
Формулы(10.1), (10.2) имеют теоретическую погрешность
(10.7),
где .
(10.8)
Вычислим теоретическую погрешность для формулы (10.1) (направленная разность «вперед») результаты поместим в таблицу 10.8.
Таблица 10.8
i
| xi
| Теоретическая погрешность
|
|
|
| 0,011426397
| 0,01166766
|
| 1,01
| 0,012152968
| 0,01239788
|
| 1,02
| 0,012890367
| 0,01313877
|
| 1,03
| 0,013638099
| 0,01388982
|
| 1,04
| 0,014395634
| 0,01465048
|
| 1,05
| 0,015162398
| 0,01542017
|
| 1,06
| 0,01593778
| 0,01619826
|
| 1,07
| 0,016721122
| 0,01698408
|
| 1,08
| 0,017511727
| 0,01777692
|
| 1,09
| 0,018308853
| 0,01857603
|
| 1,1
| 0,019111713
| 0,01938059
|
| 1,11
| 0,019919476
| 0,02018977
|
| 1,12
| 0,020731265
| 0,02100267
|
| 1,13
| 0,021546156
| 0,02181836
|
| 1,14
| 0,022363179
| 0,02263584
|
| 1,15
| 0,023181316
| 0,02345408
|
| 1,16
| 0,023999502
| 0,02427201
|
| 1,17
| 0,024816625
| 0,02508849
|
| 1,18
| 0,025631523
| 0,02590235
|
| 1,19
| 0,026442988
| 0,02671235
|
| 1,2
|
|
|
|
|
|
|
Из представленных в таблице (10.8) значений теоретической и практической погрешностей видно, что значения их имеют одинаковый порядок точности (≈ 2,6 · 10-2).
Формула (10.1) имеет первый порядок точности относительно шага h=0,01. Вычислим и подставим полученное значение в формулу (10.8):
.
Значение погрешности кроме шага сетки зависит от значения второй производной функции. В данном случае оно увеличило значение погрешности в 2,64429885 раза. Что подтверждено практической погрешностью.
Вычислим теоретическую погрешность для формулы (10.2) (направленная разность «назад») результаты поместим в таблицу 10.9.
Таблица 10.9
i
| xi
| Теоретическая погрешность
|
|
|
|
|
|
| 1,01
| 0,012152968
| 0,01190986
|
| 1,02
| 0,012890367
| 0,01264369
|
| 1,03
| 0,013638099
| 0,01338802
|
| 1,04
| 0,014395634
| 0,01414233
|
| 1,05
| 0,015162398
| 0,01490607
|
| 1,06
| 0,01593778
| 0,01567863
|
| 1,07
| 0,016721122
| 0,01645937
|
| 1,08
| 0,017511727
| 0,01724762
|
| 1,09
| 0,018308853
| 0,01804264
|
| 1,1
| 0,019111713
| 0,01884365
|
| 1,11
| 0,019919476
| 0,01964985
|
| 1,12
| 0,020731265
| 0,02046037
|
| 1,13
| 0,021546156
| 0,02127431
|
| 1,14
| 0,022363179
| 0,0220907
|
| 1,15
| 0,023181316
| 0,02290856
|
| 1,16
| 0,023999502
| 0,02372682
|
| 1,17
| 0,024816625
| 0,02454439
|
| 1,18
| 0,025631523
| 0,02536013
|
| 1,19
| 0,026442988
| 0,02617284
|
| 1,2
| 0,027249763
| 0,02698129
|
|
|
|
|
Из представленных в таблице (10.9) значений теоретической и практической погрешностей видно, что значения их имеют одинаковый порядок точности (≈ 2,7 · 10-2).
Формула (10.2) имеет первый порядок точности относительно шага h=0,01. Вычислим и подставим полученное значение в формулу (10.8):
.
Значение погрешности кроме шага сетки зависит от значения второй производной функции. В данном случае оно увеличило значение погрешности в 2,7249763 раза. Что подтверждено практической погрешностью.
3.2Сопоставление с теоретической оценкой погрешности для вычисления первой производной со вторым порядком точности
Формула (10.3) имеет второй порядок точности относительно шага h=0,01, ее теоретическая оценка погрешности равна:
(10.9),
где .
, (10.10)
Формулы (10.4), (10.5) тоже имеют второй порядок точности относительно шага h=0,01, для них
(10.11)
и
(10.12)
соответственно.
Вычислим теоретическую погрешность по формулам (10.9), (10.11), (10.12) результаты поместим в таблицу 10.10.
Таблица 10.10
i
| xi
| Теоретическая погрешность
|
|
|
| 0,000480669
| 0,00048621
|
| 1,01
| 0,000244021
| 0,00024401
|
| 1,02
| 0,00024755
| 0,00024754
|
| 1,03
| 0,000250909
| 0,0002509
|
| 1,04
| 0,000254083
| 0,00025407
|
| 1,05
| 0,00025706
| 0,00025705
|
| 1,06
| 0,000259825
| 0,00025981
|
| 1,07
| 0,000262365
| 0,00026235
|
| 1,08
| 0,000264664
| 0,00026465
|
| 1,09
| 0,000266709
| 0,0002667
|
| 1,1
| 0,000268485
| 0,00026847
|
| 1,11
| 0,000269975
| 0,00026996
|
| 1,12
| 0,000271166
| 0,00027115
|
| 1,13
| 0,000272041
| 0,00027202
|
| 1,14
| 0,000272584
| 0,00027257
|
| 1,15
| 0,000272781
| 0,00027276
|
| 1,16
| 0,000272615
| 0,0002726
|
| 1,17
| 0,000272069
| 0,00027205
|
| 1,18
| 0,000271129
| 0,00027111
|
| 1,19
| 0,000269778
| 0,00026976
|
| 1,2
| 0,000535999
| 0,00053869
| i=0
i=20
|
|
|
|
Формулы (10.3), (10.4), (10.5) имеют второй порядок точности относительно шага h=0,01.
Вычислим . И подставим полученное решение в формулу (10.11)
Значение погрешности кроме шага сетки зависит от значения третей производной функции. В данном случае оно увеличило значение погрешности в 4,80669009 раза. Что подтверждено практической погрешностью. Значения теоретической и практической погрешностей имеют одинаковый порядок точности (≈ 4,8 · 10-4).
Вычислим и подставим полученное значение в формулу (10.10):
.
Значение погрешности кроме шага сетки зависит от значения третей производной функции. В данном случае оно увеличило значение погрешности в 2,72781068 раза. Что подтверждено практической погрешностью. Значения теоретической и практической погрешностей имеют одинаковый порядок точности (≈ 2,7 · 10-4).
Вычислим . И подставим полученное решение в формулу (10.12)
Значение погрешности кроме шага сетки зависит от значения третей производной функции. В данном случае оно увеличило значение погрешности в 5,35999252 раза. Что подтверждено практической погрешностью. Значения теоретической и практической погрешностей имеют одинаковый порядок точности (≈ 5,4 · 10-4).
3.3Сопоставление с теоретической оценкой погрешности для второй производной
Для формулы (10.6) теоретическая оценка погрешности производится по формуле
(10.13),
где .
(10.14).
Результаты вычислений по формуле (10.13) поместим в таблицу 10.11
Таблица 10.11
i
| xi
| Теоретическая погрешность
|
|
|
|
|
|
| 1,01
| 0,000180501
| 0,000180479
|
| 1,02
| 0,000172291
| 0,000172269
|
| 1,03
| 0,000163426
| 0,000163403
|
| 1,04
| 0,00015389
| 0,000153867
|
| 1,05
| 0,000143667
| 0,000143644
|
| 1,06
| 0,000132745
| 0,000132721
|
| 1,07
| 0,000121107
| 0,000121083
|
| 1,08
| 0,000108742
| 0,000108717
|
| 1,09
| 9,56358E-05
| 9,56107E-05
|
| 1,1
| 8,17783E-05
| 8,17529E-05
|
| 1,11
| 6,71585E-05
| 6,71328E-05
|
| 1,12
| 5,17672E-05
| 5,17412E-05
|
| 1,13
| 3,5596E-05
| 3,55698E-05
|
| 1,14
| 1,8638E-05
| 1,86116E-05
|
| 1,15
| 8,87381E-07
| 8,60816E-07
|
| 1,16
| 1,766E-05
| 1,76867E-05
|
| 1,17
| 3,7007E-05
| 3,70337E-05
|
| 1,18
| 5,71547E-05
| 5,71814E-05
|
| 1,19
| 7,81027E-05
| 7,81293E-05
|
| 1,2
|
|
|
|
|
|
|
Из представленных в таблице (10.11) значений теоретической и практической погрешностей видно, что значения их имеют одинаковый порядок точности (≈ 1,8 · 10-4).
Формула (10.6) имеет второй порядок точности относительно шага h=0,01. Вычислим и подставим полученное значение в формулу (10.14):
.
Значение погрешности кроме шага сетки зависит от значения четвертой производной функции. В данном случае оно увеличило значение погрешности в раза. Что подтверждено практической погрешностью.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|