АППРОКСИМАЦИЯ ПРОИЗВОДНЫХ КОНЕЧНЫМИ РАЗНОСТЯМИ.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4.

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

1. Изучение основных определений и положений теории численного дифференцирования.

2. Изучение основных методов аппроксимации производных с помощью конечно-разностных соотношений.

3. Численное дифференцирование на ЭВМ с помощью разностей сложных функций и функций заданных таблицей.

II. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

1. Аппроксимация производных конечными разностями. Производной функции y=f(x) называется предел:

(2.1)

Для приближенного вычисления производной используется формула:

, (2.2)

где Dx - некоторое конечное число.

Разностные соотношения, в которых разность между любыми значениями аргумента является конечной величиной, называются конечными разностями. Поэтому соотношение (2.2) также называют аппроксимацией производной с помощью конечных разностей.

Пусть известны значения функции y₀,y₁,...,y_i,...,y_n, вычисленные или заданные таблицей в точках x₀,x₁,...,x_i,...,x_n. Точки x₀,x₁,...,x_i,...,x_n называются узлами, а разность между соседними значениями аргумента называется шагом h_i=Dx_i=x_i-x_i_-1, i=1,...,n. Весь набор узлов называется сеткой. Если величина шага между узлами постоянна, то говорят, что узлы x₀,x₁,...,x_i,...,x_n образуют равномерную сеткой с шагом h.

Для вычисления производной y¢i в точке точки x_i по формуле (2.2) можно использовать левую разность:

(2.3)

правую разность:

(2.4)

центральную разность:

(2.5)

2. Погрешность численного дифференцирования. При численном дифференцировании с использованием приближенной формулы (2.2), например, по формулам (2.3-2.5), естественно возникает погрешность: R(x,h)=y¢(x)-y¢_h(x,h), где y¢(x) - точное значение производной, y¢_h(x,h)- значение производной вычисленное по приближенной формуле при шаге h.

Величина погрешности зависит от точки x, в которой вычисляется производная, и от шага h, чем меньше шаг, тем естественно погрешность меньше. Обычно погрешность R(x,h) записывают одним из способов:

(2.6)

где, j(x)×h^k- называется главной частью погрешности аппроксимации, т.к. в формуле (2.6) это слагаемое при h<<1 будет гораздо больше второго, а величина k называется порядком погрешности или порядком точности аппроксимации относительно шага h.

С помощью разложения в ряд Тейлора получены следующие оценки погрешности для формул (2.3-2.5):

левая разность;

правая разность; (2.7)

центральная разность.

Из этих формул следует, что центральная разность имеет самый высокий порядок точности, а именно, второй порядок по h.

3. Аппроксимирующие формулы для любого порядка точности. Аппроксимацию производных конечными разностями в общем случае можно рассматривать как замену производной от функции y¢=f¢(x) производной от аппроксимирующей функции j¢(x), j(x)»f(x), где в качестве аппроксимирующей функции используется интерполяционный многочлен: . Поэтому увеличивая степень интерполяционного многочлена n мы будем увеличивать порядок точности аппроксимации производной.

С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа при равномерном распределении узлов были получены следующие формулы для аппроксимации производной с помощью центральных разностей второго и четвертого порядка точности:

(2.8)

где, y⁽^k⁾(x) - значение “к”-той производной в некоторой точке на отрезке [x_i_-2,x_i₊₂].

В крайних точках таблицы или в крайних узлах нельзя использовать соотношения для центральных разностей (2.8). В этих точках используются односторонние формулы численного дифференцирования:

(2.9)

4. Выбор оптимального шага при численном дифференцировании. Полная погрешность численного дифференцирования определяется не только погрешностью используемой формулы численного дифференцирования, но и погрешность возникающей при вычислениях по этим формулам. Например, при вычисления по первой формуле (2.8) абсолютная предельная погрешность будет равна

(2.10)

где `Dy - абсолютная предельная погрешность вычислений значений функции y из-за ошибок округления.

Так как величина `Dy является неустранимой погрешностью, то согласно определения абсолютного числа обусловленности d_D для задачи численного дифференцирования из (2.10) имеем:

d_D=1/h,

т.е. задача плохо обусловлена, т.к. при при h®0 число обусловленности стремится к бесконечности.

Полная абсолютная погрешность вычисления производной R(y_i¢) будет равна сумме погрешности (2.10) и погрешности формулы (2.8):

(2.11)

Первое слагаемое (погрешность вычислений) при уменьшении шага увеличивается, а второе слагаемое (погрешность самой формулы) уменьшается. Естественно будет такой шаг при котором полная погрешность будет минимальной., такой шаг называется оптимальным,

Оптимальный шаг h_оптопределяется из условия минимума R(y¢_i), т.е. уравнения R¢_h(y¢_i)=0, где значок h - говорит о том , что производная берется по h. Из соотношения (2.11), полученного для формулы (2.8) имеем:

(2.12)

Естественно для каждой формулы численного дифференцирования будет своя формула для вычисления оптимального шага.

Если величина абсолютной предельной погрешности вычислений значений y определяется погрешностью округления ( машинным эпсилон ) D(y)=e_m çyï, то можем записать:

(2.13)

Обычно на практике полагают, что .

5. Улучшение аппроксимации с помощью метода Рунге -Ромберга.Пусть y¢(x) - точное значение производной, а y¢_h(x,h) -значение производной, вычисляемое по формуле численного дифференцирования, имеющей порядок точности к относительно шага h. Следовательно можем записать:

(2.14)

Запишем это же соотношение для шага h₁=ph:

(2.15)

Вычитая из (2.15) соотношение (2.14)

, (2.16)

и подставляя (2.16) в (2.14) получаем

(2.17)

Формула (2.17) позволяет по результатам двух расчетов производной с шагом h и шагом ph по одной и той же формуле, имеющей порядок точности k, найти ее уточненное значение с порядком точности k+1. Данный прием называется методом Рунге-Ромберга.

III. ЗАДАНИЕ.

1.Написать формулу для вычисления с помощью центральных разностей 2-го порядка точности производную от функции, заданной дискретно, из таблицы заданий №1.

Оценить h_опт, полагая, что , а e_m=10^-10. Улучшить аппроксимацию в заданных узлах с помощью метода Рунге-Ромберга.

Написать программу и рассчитать на ЭВМ производную этой функции в заданных узлах.

2. Вычислить значение производной функции, заданной в таблице заданий №2 в произвольной точке x=x₀ аналитически и численно тремя методами (формулы 2.3, 2.4, 2.5) для пяти значений приращения аргумента Δx=1; 0.2; 0.1; 0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы

Таблица вывода результатов расчета

Δx	y(x)	y'(x)

0.2
0.1
0.01
0.001

IV. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

Вычислить с помощью центральных разностей второго порядка точности производную от функции, заданной дискретно:

i
x	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
y					-1	-2

Уточнить производную в центральных узлах i=2,3.

Порядок выполнения работы.

1.Для аппроксимации производной в узлах i=1,2,3 применяем формулу центральных разностей (2.8) второго порядка точности с шагом h=0.1:

(4.1)

Для аппроксимации производной в узлах i=0 и i=5 применяем формулы (2.8) для крайних узлов таблицы:

(4.2)

2.Оцениваем величину h_опт. Согласно (2.13) с учетом, что и e_m=10^-10 имеем h_опт ~ 10^-3. Согласно таблицы h > h_опт, поэтому для уточнения значений производной в узлах 2 и 3 .можно применять метод Рунге-Ромберга.

3.Положим p=2, т.к. при p>2 мы выйдем за пределы таблицы. Для p=2 определяем шаг: h₁=2h. Для узлов i=2,3 формула (4.1) запишется в виде:

(4.3)

Так как формула (4.1) второго порядка точности, то k=2. Подставляем (4.1) и (4.3) в формулу (2.17) получаем окончательную формулу:

(4.4)

где `y¢_i_,_h- уточненное значение производной.

4.Заполняем таблицу

i
x_i	_i
y_i

V. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА.

1.Название лабораторной работы.

2.Индивидуальное задание.

3.Теоретическая часть.

4.Ответы на контрольные вопросы.

5.Текст программы.

6.Результаты расчета.

Пункты 1-5 должны быть оформлены до начала лабораторной работы.

VI. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1.Определение конечной разности.

2.Что такое правая, левая, центральная разность?

3.Определение узла и сетки.

4.Определение погрешности аппроксимации производной.

5.Что такое порядок точности ( погрешности )?

6.Порядок точности правой, левой и центральной разности.

7.Метод Рунге-Ромберга.

8.Определение главной части погрешности аппроксимации.

9.Определение конечной разности для функции двух переменных.

10.Абсолютное число обусловленности численного дифференцирования.

VII. ТАБЛИЦЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ.

В последней колонке число k указывает номер узла, в котором необходимо улучшить точность аппроксимации производной.

Таблица заданий №1

№	x	Табличные значения f(x)	k
	y	i=0	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5
1.	x y	0.01 0.03	0.02 0.04	0.03 0.03	0.04 0.01	0.05 0.0	0.06 -0.1
2.	x y	0.1 -0.5	0.2 -0.2	0.3	0.4 0.1	0.5 0.05	0.6
3.	x y	0.05 0.7	0.1 0.5	0.15 0.7	0.2 0.8	0.25 0.9	0.3 0.12
4.	x y	0.2 -0.6	0.4 -0.5	0.6 -0.3	0.8	1.0 0.4	1.2
5.	x y	0.1 0.8	0.2 0.5	0.3 0.4	0.4 0.5	0.5 0.6	0.6 0.9
6.	x y	0.05 0.0	0.1 0.1	0.15 0.0	0.2 -0.1	0.25 -0.2	0.3 0.0
7.	x y	0.01 -0.03	0.02 -0.04	0.03 -0.03	0.04 -0.01	0.05 -0.01	0.06 -0.1
8.	x y	0.1 0.3	0.2 0.2	0.3	0.4 -0.1	0.5 -0.05	0.6
9.	x y	0.05 -0.7	0.1 -0.5	0.15 -0.7	0.2 -0.8	0.25 -0.9	0.3 -0.12
10.	x y	0.2 0.6	0.4 0.5	0.6 0.3	0.8	1.0 -0.4	1.2 -1
11.	x y	0.1 -0.8	0.2 -0.5	0.3 -0.4	0.4 -0.5	0.5 -0.6	0.6 -0.9
12.	x y	0.05 0.0	0.1 -0.1	0.15 0.0	0.2 0.1	0.25 0.2	0.3
13.	x y	0.1 0.2	0.2 0.3	0.3 0.5	0.4 0.5	0.5 0.2	0.6 -0.2
14.	x y	0.15 -0.2	0.25 -0.4	0.3 -0.6	0.35 -0.5	0.4 -0.45	0.45 -0.44
15.	x y	0.5 0.0	0.6	0.7 0.0	0.8 -1	0.9 0.0	1.0

Таблица заданий №2

Вар.	Вид функции	Вар.	Вид функции
	x(t)=Ae^-at sin(ωt+b)		y=ctg^m (ax)
	x(t)=Ae^at cos(ωt+b)		y(x)=(e^ax-e^-ax)ⁿ
			x(t)=t^at
	уυ(t)=cos²(at+b)		y(x)=(ax)^sin(bx)
	yυ(t)=sin²(at+b)

	q(t)=(a-btⁿ)ⁿ
	y(x)=xⁿcos(ax)		R(φ)=arccos^m(a+bφⁿ)
			r(φ)=c^sin(aφ+b)
			y(x)=ln(tgⁿ(ax+b))
			vυ(t)=log_a(tⁿ+b^m)^k
	S(φ)=Вcоsⁿ(aφ+b)		S(φ)=Asinⁿ(aφ+b)
	y=tg^ax( x/a )		X(t)=lg(atⁿ+b)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: