Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и потому интегрируема на [a;x] , где х b. В этом случае f(t)dt зависит от х. Т.е. f(t)dt=Ф(х).

Теорема. Ф(х) – непрерывна на [a;b]. Док. Вычислим Ф(х)= Ф(х+ х)- Ф(х)= f(t)dt, который по теореме о среднем равен f(C) х. Где С между х и х+ х. Т.е. Ф(х)= f(C) х. Если хà0, то Ф(х) à0, а значит Ф(х) – непрерывна.

Теорема. Ф(х) – дифференцируема на [a;b]. Док. По найденному приращению Ф(х) найдем =f(x) – cм.выше.

Т.е. Ф’(х)=( f(t)dt)’_x =f(x). Аналогично ( f(t)dt)’_x =-f(x).

Следствие. Производная по верхнему пределу от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.

Комментарий. Фактически доказана теорема существования неопределенного интеграла. Именно f(x)dx= f(t)dt+C.

Из этих рассуждений следует формула Ньютона-Лейбница f(x)dx =F(b)-F(a). Док. Имеем Ф(х) = f(t)dt. Пусть F(x) – любая из этих первообразных. Т.е.

f(t)dt= F(x)+C. Из этого равенства при х=а получаем F(a)=-C. Или f(t)dt= F(x)-F(a). С другой стороны при х=b из того же равенства получаем

f(x)dx= F(b)-F(a). (7.2)

2.3.Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

Теорема. Если х=ф(t) непрерывна на [ ; ] оси t вместе со своей производной x’=ф’(t); при изменении t от до значение ф(t) не выходит за пределы [a;b]; ф( )=а , ф( ) = b, то для непрерывной на [a;b] функции f(x) справедливо равенство f(x)dx= f(ф(t))ф’(t)dt (7.3)

называемое формулой замены переменной в определенном интеграле.

Док. В самом деле f(t)dt= F(b)-F(a) , где F(x) первообразная для f(x). Т.к. при этом F(ф(t)) – есть первообразная для f(ф(t))ф’(t), непрерывной на

[ ; ], то По Ньютону-Лейбницу имеем f(ф(t))ф’(t)dt =F(ф( )) - F(ф( ))= F(b)-F(a) = f(t)dt.

Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х, на некоторое выражение, а выражение, связывающее х заменяют одной переменной. А далее – как обычно. Не следует забывать также о смене пределов интегрирования в момент замены, чтобы не возвращаться к исходной переменной.

Интегрирование по частям. Пусть u=ф(х) и v=f(x) непрерывны и дифференцируемы на [a;b]. Проинтегрируем равенство (uv)’=u’v+v’u на этом отрезке и получим (uv)’dx= u’vdx + v’udx. Но т.к. uv есть первообразная для (uv)’, то получаем v’udx = uv - u’vdx (7.3)

Формулу (7.3) называют формулой интегрирования по частям в ОИ.

Несобственные интегралы.

Пусть f(x) непрерывна на [a; + ). Тогда она непрерывна и на [a;b] и потому f(х)dх= F(b) – некоторая функция от предела b.

Опред. Если при bà+ существует и равен конечному числу, то этот предел обозначают символом f(х)dх, называют несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом и считают сходящимся. В противном случае символу f(х)dх ничего не приписывают, называют так же и считают расходящимся.

Аналогично дают определение символу f(х)dх . Если же имеется символ f(х)dх, то в нем сначала заменяют бесконечные пределы конечными параметрами, затем на отрезке между параметрами берут произвольную точку и вычисляют два предела : и . Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то исходный символ называют несобственным с бесконечными пределами и расходящимся. Сходящимся он будет только, если оба слагаемые сходятся.

Зачастую работать с определением затруднительно. Тогда используют признаки сходимости.

Теорема. (признак сравнения) Если 0 g(x) f(x) и для любого х из

[a; + ) интеграл f(х)dх сходится, то сходится и интеграл g(х)dх. Если же при указанных условиях интеграл g(х)dх расходится, то расходится и интеграл f(х)dх.

Док. Вытекает из интегрирования неравенства.

Теорема. (предельный признак сравнения) Если =k не равному нулю и не равному , то интегралы g(х)dх и f(х)dх ведут себя одинаково в смысле сходимости. (без док.)

Комментарий.

В качестве ‘лакмусовой’ бумажки (мерительного инструмента) используют интеграл от степенной функции J= = . Иначе говоря при р больших 1 интеграл сходится, а в других случаях – расходится.

Опр. Если интеграл f(х) dх сходится, то сходится и интеграл f(х)dх и тогда последний называют абсолютно сходящимся.

Опр. Если интеграл f(х) dх расходится, а интеграл f(х)dх сходится, тогда последний называют условно сходящимся.

Пример. 7.7. . Выясним его характер. Для чего сравним подынтегральную функцию по модулю с функцией . Имеем < . А потому исходный интеграл сходится абсолютно.

Пусть f(x) непрерывна на [a;b] и имеет разрыв 2-го рода (неограниченна) в точке b. Тогда f(x) интегрируема на [a;b₁] для b₁<b. В этом случае f(х)dх=Ф(b₁) – функция от b₁.

Опр. Если существует конечный , то его обозначают символом f(х)dх, называют несобственным интегралом от разрывной функции и считают сходящимся.

В противном случае указанному символу ничего не приписывают и называют расходящимся несобственным интегралом от разрывной функции.

Аналогичная ситуация для непрерывной f(x) на [a;b] за исключением некоторой С [a;b]. В этом случае рассматривают два несобственных интеграла от разрывной функции на двух интервалах [a;С] и [С;b]. Если хотя бы одно слагаемое – интеграл расходящийся, то исходный интеграл считают расходящимся. В противном случае интеграл считают сходящимся.

Из последних определений следует, что до вычисления f(х)dх следует проверить, будет ли символ несобственного интеграла или это определенный интеграл. И только после этого приниматься за вычисления(работу).

Если же установить характер сходимости по определению затруднительно используют признаки сравнения с интегралом J= = . Иначе говоря, при p<1 интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: