Вычисление площадей плоских фигур.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Методические указания по дисциплине «Математический анализ»

для студентов дневной формы обучения

Хабаровск

Издательство ТОГУ

2007

УДК 22.17

Интегральное исчисление: методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения / сост. Н.Б Лазарева, Н.Н.Ловцова – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2007. – 31с.

Методические указания составлены на кафедре прикладной математики информатики. В них изложены основные методы вычисления неопределённого интеграла, приложения определенного интеграла, рассмотрены примеры решения задач.

Печатается в соответствии с решениями кафедры «Прикладная математика и информатика» и методического совета факультета математического моделирования и процессов управления.

Ó Тихоокеанский государственный

университет,2007

§ 1. Неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если

или .

Всякая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется совокупность всех её первообразных: .

Здесь -знак интеграла, f(x) –подынтегральная функция, х –переменная интегрирования.

Свойства неопределённого интеграла:

1.

2. , где

3.

4. Если и -любая дифференцируемая функция, то .

5. Если , то ,

и .

Правильность результата интегрирования проверяется

дифференцированием найденной первообразной, т.е. .

Таблица основных интегралов представлена в приложении 1.

§ 2. Непосредственное интегрирование функций.

Задача нахождения неопределённых интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. Этого можно достичь путём алгебраических тождественных преобразований подынтегральной функции f(x) или подведения части её множителей под знак дифференциала.

Пример 1.

.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4. =

§ 3. Интегрирование заменой переменной.

Если функция имеет непрерывную производную, то в

неопределённом интеграле можно перейти к новой переменной t по формуле

,

затем найти интеграл и вернуться к исходной переменной х. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной или методом подстановки.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

§ 4. Интегрирование по частям.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

,

где u(x) и v(x) - дифференцируемые функции.

Применение её целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост для нахождения, нежели исходный. В некоторых случаях формулу необходимо применять несколько раз.

При этом за u(x) берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv -та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Так, например,

для интегралов вида , ,

за u(x) следует принять многочлен P(x) .

Для интегралов вида , ,

за u(x) принимаются функции lnx, arcsinx, arctgx, а за dv - выражение

P(x)dx .

Пример 9.

Пример 10.

Пример 11.

Циклические интегралы , находятся двукратным интегрированием по частям.

Пример12.

Отсюда получаем

§ 5. Интегрирование рациональных функций.

Рациональной называется функция вида

где m,n-целые, положительные числа. Если m<n,то R(x) называется правильной дробью, если m n ,то неправильной. Всякую неправильную дробь путём деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби: , l<n.

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа:

1.

2. , где к -целое число, больше единицы

3. , где , т.е. квадратный трёхчлен

не имеет действительных корней

4.

Вычисление интеграла производится по рекуррентной формуле :

Пример 13.

Пример 14.

Пример 15.

Пример 16.

Вычислим первый интеграл:

Вычислим второй интеграл, используя рекуррентную

формулу, где к = 2:

Итоговый результат:

Метод интегрирования рациональных дробей в целом рассмотрим на следующем примере:

Пример 17.

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби :

Освободимся от знаменателей, умножая обе части равенства

на :

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х

в обеих частях тождества, получаем систему уравнений:

решение которой .

Подставляя под знак интеграла полученную сумму

элементарных дробей, имеем:

§ 6. Интегрирование иррациональных функций.

1. Интегралы вида , где R-рациональная функция, -целые числа преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью подстановки ,где к-общий

знаменатель дробей

Пример18.

.

2. Интегралы вида , где -некоторые

числа m-натуральное число, преобразуются с помощью

подстановки .

Пример 19. .

3. Интегралы вида , где -некоторые

числа :

1) если трёхчлен имеет вещественные корни и >0, то

и

. Имеем предыдущий

случай.

2) если трёхчлен не имеет вещественных корней и >0, то

интеграл преобразуется подстановкой Эйлера .

3) если трёхчлен не имеет вещественных корней, <0 и с>0,

то применяют другую подстановку Эйлера .

4) выделим полный квадрат: .

С помощью подстановки интеграл сводится в зависимости

от коэффициентов к одному из следующих интегралов:

замена

замена или

замена или

Пример 20.

§ 7. Интегрирование тригонометрических и гиперболических

функций.

1. Интегралы вида , где R-рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки .

Пример 21.

.

2. Интегралы вида , где m и n-положительные целые

чётные числа, вычисляются с помощью формул:

Пример 22. .

Если n-нечётное положительное число, то применяется

подстановка sinx = t,

если m-нечётное положительное число, то применяется

подстановка cosx = t.

Пример 23.

.

В общем случае интегралы этого вида вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путём интегрирования по частям.

Пример 24.

Второй интеграл – табличный, первый вычислим

интегрированием по частям:

Итоговый результат:

3. Интегралы вида , , ,

где , вычисляются с помощью формул:

Пример 25.

4. Интегралы вида , , где m = 2,3,… вычисляются

с помощью формул

, .

Пример 26.

5.Интегрирование гиперболических функций производится аналогично интегрированию тригонометрических функций, причём используются следующие формулы:

Пример 27.

§ 8. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция определена на отрезке [a, b]. С помощью точек

x₀=a, x₁, x₂, …, x_n=b разобьем отрезок [a, b] на n частичных отрезков [x₀, x₁], [x₁, x₂], … ,[x_n-1, x_n]

с₁ с₂ с_i c_n

& & & & & & & & &

a=x₀ x₁ x₂ x_i-1 x_i x_n-1 b=x_n

В каждом частичном отрезке [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку с_i и

вычислим f(c_i). Составим сумму

S_n=

где , которая называется интегральной суммой функции

на отрезке [a, b].

Обозначим через . Найдем предел , когда , так что

. Если интегральная сумма S_n имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции и обозначается .

Свойства определенного интеграла :

1.

2. , где c=const

3.

4. ,

5. >0, если

<0, если

6. < , если <

7.

8.

9. , если функция - чётная.

, если функция - нечётная.

10. Если непрерывна, а интегрируема на , то существует

такая точка , что справедливо равенство

.

(Обобщённая теорема о среднем)

Число называется средним значением функции

на отрезке .

§ 9. Вычисление определённого интеграла.

1. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], а F(x) – ее

первообразная , то справедлива

формула Ньютона-Лейбница .

Пример 28.

2.Интегрирование заменой переменной: Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причём , , то .

Пример 29.

3. Интегрирование по частям:Если функции и имеют

непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула:

Пример 30.

Замечание: в Приложении 2 предлагаются задания для закрепления навыков вычисления неопределённого и определённого интегралов.

§10. Геометрические приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур.

a) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции , прямыми и

и осью ОХ вычисляется по формуле:

или

(если х есть функция переменной у)

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций и , прямыми и

вычисляется по формуле:

.

b) Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями , прямыми и осью ОХ вычисляется по формуле: , где пределы интегрирования находятся из уравнений

на ).

c) Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и лучами и вычисляется по формуле:

.

Пример 31. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

.

Решение:

Пример 32. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом , .

Решение:

Пример 33. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

и осью ОХ.

Решение:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: