Вычисление площади в полярной системе координат и кривой заданной параметрически.

Если в декартовой системе координат вычисляется площадь криволинейной трапеции, то в полярной системе вычисляется площадь криволинейного сектора.

Определение: Криволинейным сектором называется фигура, заключенная между двумя лучами, выходящими из полюса под углами j=a и j=b и кривой, заданной в полярной системе координат r=r(j).

Разобьем криволинейный сектор лучами j=j _i, i = 0…n на части a=j₀<j₁<j₂<…<j_n=b

j =a, j =b, r =r(j).

В каждой части произвольным образом выбираем точку C_i и вычисляем в ней значение r_i =r(C_i) угол i- части . Заменим площадь i- части площадью кругового сектора = = = =

Просуммируем площади всех круговых секторов .

Сумма этих площадей приближенно равна площади исходного криволинейного сектора. Причем, чем больше будет частей разбиения, тем меньше будет Dj_i , тем точнее будет равенство.

В ПСК S= .

Вычисление длины дуги кривой в декартовой системе координат.

Нужно вычислить длину плоской кривой L, заданной уравнением y=f(x) на отрезке [a,b].

Разобьем отрезок на части точками x_i где I=0…n, a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b.

Через эти точки проведем прямые параллельные оси OY, которые разобьют кривую на M частей. Выпишем в эти части ломанную.

Длина I-ого звена ломанной: Dl_i=

Просуммируем сумма длин звеньев ломанной приближенно равна длине кривой. Переходя к пределу: = =

Пример: Вычислить длину полукубической параболы , где , x=0, x=1. = = =

Вычисление длины дуги в полярной системе координат и кривой заданной параметрически.

В декартовой системе координат длина дуги L= . Рассмотрим подынтегральное выражение внесем dx под корень - это выражение называется дифференциалом дуги. L= .

Если кривая L задана параметрически.

= =

Длина кривой заданной параметрически, выражается через определенный интеграл L= .

Замечание: При вычислении длины кривой заданной параметрически нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего предела интегрирования.

Пример: Найти длину 1 арки циклоиды.

Вычислим длину 1 арки циклоиды

0£t£2p

= = = = = = ==

L= = = = =-4(-1-1)=

=8 (ед)

Если кривая L задана в полярной системе координат

= =

Длина дуги кривой в полярной системе координат L=

Пример: Вычислить длину кардиоиды . В силу симметричности кривой вычислим ½ длины. Полярный угол ½L= = =

= = = = =

= =

½L= = =4(1-0)=4 Þ L=4*2=8 (ед).

Объем тела через площадь поперечного сечения.

Пусть дано некоторое тело и известно, что площадь поперечного сечения плоскости перпендикулярна оси OX. Разобьем тело на части плоскостями x=x_i перпендикулярными оси OX. Отрезок [a,b], лежащий на оси OX, разобьется соответственно точками x_i на n частей: a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b. Dx_i = x_i₊₁ – x_i - длина [x_i ; x_i₊₁]. В каждой точке x принадлежащей отрезку [a,b] известно поперечное сечение этого тела, то есть площадь поперечного сечения является функцией от x(S(x)). На i отрезке выберем произвольную точку C_i и заменим объем i части тела объемом прямого цилиндра V_i = S_осн× высоту=S(C_i) × Dx_i ; объем тела приближенно равен сумме объемов прямых цилиндров V_T » ; Причем равенство будет тем точнее, чем больше частей разбиения тела и чем меньше длина отрезка Dx_i . Переходя к пределу получаем V_T= . Этот предел интегральных сумм является определенным интегралом где S(x) – площадь поперечного сечения.

Объем тела вращения.

Определение: Если криволинейная трапеция ограничена линиями y=0; x=a; x=b; y=f(x), где f(x)³0 вращается вокруг оси OX, то полученное тело называется телом вращения вокруг оси OX.

Как известно, объем тела выражается через площадь поперечного сечения по формуле: . В данном случае поперечными сечениями являются круги радиусом R_кр=f(x); S_кр=S(x) = pf ²(x) Þ V_OX= . Если криволинейная трапеция ограниченная линиями вращается вокруг оси OY, то объем полученного тела вращения V_OY=

Замечание: Если фигура не является криволинейной трапецией, то ее нужно разбить на нужные части, либо достроить нужные части и вычислять объем тела вращения, как неполый через сумму или разность объемов частей.

Пример: Вычислить объемы тел вращения, ограниченного линиями y=0; x=0; x=1; y=e^x.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: