Дифференциальные уравнения движения

ДИНАМИКА

Электронный учебник по дисциплине: ”Теоретическая механика”

для студентов заочной формы обучения

Соответствует Федеральному образовательному стандарту

(третьего поколения)

Сидоров В.Н.,д.т.н.,профессор

Ярославский государственный технический университет

Ярославль, 2016

СОДЕРЖАНИЕ

Введение …………………………………………………………………

Динамика…………………………………………………………………..

1.Введение в динамику. Основные положения …………………………

1.1.Основные понятия и определения ………………………………...

1.2.Законы Ньютона и задачи динамики ………………………………

1.3.Основные виды сил …………………................................................

Сила тяготения ……………………………………….. ………........

Сила тяжести ………………………………………………………..

Сила трения …………………………………………………………

Сила упругости ……………………………………………………..

1.4.Дифференциальные уравнения движения………………………..

Дифференциальные уравнения движения точки ………………..

Дифференциальные уравнения движения механической

системы …………………………………………………………….

2.Общие теоремы динамики ………………………. ……………………

2.1.Теорема о движении центра масс ……………….. ………………

2.2.Теорема об изменении количества движения ……………………

2.3.Теорема об изменении момента количества движения …… ……

Теорема моментов …………………………………………………

Кинетический момент твердого тела…………………………….

Осевой момент инерции твердого тела …………………………..

Теорема Гюйгенса – Штейнера – Эйлера ………………………..

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела …

2.4.Теорема об изменении кинетической энергии …………………..

Теорема об изменении кинетической энергии материальной

точки ……………………………………………………………….

Теорема об изменении кинетической энергии механической

системы ……………………………………………………………

Формулы для подсчета кинетической энергии твердого тела

в разных случаях движения ………………………………………

Примеры вычисления работы сил ……………………………….

2.5.Закон сохранения механической энергии ……………………….

Введение

«Кто не знаком с законами механики

тот не может познать природы»

Галилео Галилей

Значение механики, ее значительная роль в совершенствовании производства, повышении его эффективности, ускорении научно-технического процесса и внедрении научных разработок, росте производительности труда и улучшении качества выпускаемой продукции,к сожалению, понимается достаточно отчетливо не всеми руководителями министерств и ведомств, высших учебных заведений, равно как и то, что представляет механика наших дней /1/.Как правило, о ней судят по содержанию теоретической механики, изучаемой во всех высших технических учебных заведениях.

Студенты должны знать, насколько важна теоретическая механика, как одна из основополагающих инженерных дисциплин высшей школы,научная основа важнейших разделов современной техники, своеобразный мост, соединяющий математику и физику с прикладными науками, с будущей профессией. На занятиях по теоретической механике впервые студентам прививается системное мышление, умение ставить и решать практические задачи. Решать их до конца, до числового результата. Учиться анализировать решение, устанавливать границы его применимости и требование к точности исходных данных.

Не менее важно знать студентам, что теоретическая механика лишь вводная, хотя и совершенно необходимая, часть колоссального здания современной механики в широком понимании этой фундаментальной науки. Что она будет развиваться в других разделах механики: сопротивлении материалов, теории пластин и оболочек,теории колебаний, регулирования и устойчивости, кинематике и динамики машин и механизмов, механике жидкости и газа, химической механике.

Достижения всех разделов машиностроения и приборостроения, строительной индустрии и гидротехники, добычи и переработки руды, каменного угля, нефти и газа, железнодорожного и автомобильного транспорта, судостроения, авиации и космической техники опираются на глубокое понимание законов механики.

При подготовке лекций автором использованы методические разработкикафедры теоретической механики Ярославского государственного технического университета /2/ и других известных университетов /3, 4/.

Учебное пособие предназначено для студентов машиностроительных, автомеханических специальностей заочной формы обучения в техническом университете по сокращенной программе курса.

Итак, несколько определений.

Теоретическая механика – это наука, изучающая общие законы механического движения и равновесия материальных объектов и возникающие при этом механические взаимодействия между материальными объектами.

Под механическим движением материального объекта понимают происходящее с течением времени изменение его положения по отношению к другим материальным объектам.

Под механическим взаимодействием подразумевают такие действия тел друг на друга, при которых изменяются движения этих тел, либо они сами деформируются (меняют свою форму).

Теоретическая механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики.

ДИНАМИКА

Введение в динамику. Основные положения

Основные понятия и определения

Сформулируем еще раз[1] в несколько ином виде определение динамики как части механики.

Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных объектов, с учетом действующих на них сил.

Обычно изучение динамики начинают с изучения динамики материальной точки и затем переходят к изучению динамики механической системы.

В силу схожести формулировок многих теорем и законов этих разделов динамики, дабы избежать излишнего дублирования и сократить текстовый объем учебника, целесообразно излагать эти разделы динамики совместно.

Введем некоторые определения.

Инерция (закон инерции) – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения в отсутствии действия на него со стороны других тел (т.е в отсутствии сил).

Инертность - способность тел сопротивляться попыткам изменить с помощью сил их состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Количественной мерой инерции служит масса (m). Эталоном массы является килограмм (кг).

Отсюда следует, что чем инертнее тело, чем больше его масса, тем меньше меняется его состояние покоя или равномерного движения под действием определенной силы, меньше меняется скорость тела, т.е. тело лучше сопротивляется воздействию силы. И наоборот, чем меньше масса тела, тем больше меняется его состояние покоя или равномерного движения, сильнее меняется скорость тела, т.е. тело хуже сопротивляется воздействию силы.

Законы и задачи динамики

Сформулируем законы динамики материальной точки. В теоретической механике они принимаются как аксиомы. Справедливость этих законов обусловлена тем, что на их базе строится все здание классической механики, законы которой выполняются с большой точностью. Нарушения законов классической механики наблюдаются только при больших скоростях (релятивистская механика) и в масштабах микромира (квантовая механика).

Итак:

Основные виды сил

Прежде всего, введем разделение всех встречающихся в природе сил на активные и реактивные (реакции связей).

Активной называют такую силу, которая может привести в движение покоящееся тело.

Реакция связи возникает в результате действия активной силы на несвободное тело и препятствует перемещению тела. Собственно поэтому, являясь следствием, откликом, последействием активной силы.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в задачах механики силы.

Сила тяготения

Эта сила гравитационного притяжения между двумя телами, определяемая законом всемирного тяготения:

(3)

где γ – гравитационная постоянная, равная 0,6673·10^-10 м³/кг·с².

Сила тяжести

Эта сила, действующая на любое тело у поверхности Земли, направлена вертикально вниз. Она является частным случаем закон гравитационного притяжения для случая, когда (радиус Земли) и m₂ = M_З (масса Земли) и при m₁ = m определяется выражением:

(4)

где - ускорение силы тяжести у поверхности Земли, численно равное g ≈ 9,8 м/с², m – масса тела, или механической системы, определяемая как совокупная масса всех точек системы:

.

(5)

Здесь - масса k-ой точки системы, n – число точек в системе. Сила тяжести – равнодействующая сил тяжестей всех точек механической системы и приложена к т.н. «центру масс» механической системы (т. С), положение которой в пространстве определяется радиус-вектором :

(6)

где - радиус-вектор k-ой точки системы. Координаты центра масс можно получить, спроецировав обе части равенства (3.6) на оси:

(7)

Сила трения

В инженерных расчетах исходят из экспериментально установленных закономерностей, называемых законами сухого трения (в отсутствии смазки), или законами Кулона:

· При попытке сдвинуть одно тело вдоль поверхности другого возникает сила трения (сила трения покоя ), величина которой может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения .

· Величина предельной силы трения , равна произведению некоторого безразмерного, экспериментально определяемого коэффициента трения f на силу нормального давления N, т.е.

.

(8)

· По достижению предельного значения силы трения покоя за исчерпанием сцепных свойств сопрягающихся поверхностей тело начинает перемещаться вдоль опорной поверхности, причем сила сопротивления движению практически постоянна и не зависит от скорости (разумных пределах). Эта сила называется силой трения скольжения и она равна предельному значению силы трения покоя.

· поверхности.

Приведем значения коэффициента трения для некоторых тел:

Табл. 1

Трение качения

Рис.1

При качении колеса без проскальзывания (рис. 1) реакция опоры несколько смещается вперед по ходу движения колеса. Причина этого – в несимметричности деформации материала колеса и опорной поверхности в зоне контакта. Под действием силы давление у края В зоны контакта возрастает, а у края А убывает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону движения колеса на величину k, называемой коэффициентом трения качения. На колесо действует пара сил и с моментом сопротивления качению, направленным против вращения колеса:

.

(9)

Приведем значение коэффициента трения качения для некоторых материалов:

Табл. 2

В условиях равновесия при равномерном качении моменты пар сил , и , уравновешивают друг друга: , откуда вытекает оценка значения силы, направленной против движения тела: . (10)

Отношение для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения f. Этим и объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением.

Сила упругости

Эта сила, с которой деформированное тело стремится вернуться в свое исходное, недеформированное состояние. Если, например, растянуть пружину на величину λ, то сила упругости и ее модуль равны, соответственно:

.

(11)

Знак минус в векторном соотношении показывает, что сила направлена в противоположную сторону от перемещения . Величина с носит название «жесткость» и имеет размерность Н/м.

Дифференциальные уравнения движения

Дифференциальные уравнений движения точки

Вернемся к выражению основного закона динамики точки в виде (3.2), записав его в виде векторных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков (нижний индекс будет соответствовать номеру силы):

, (12) . (13)

Записанные равенства (12,13)есть дифференциальные векторные уравнения движения материальной точки.

Их можно преобразовать в систему алгебраических (14) или дифференциальных (15) уравнений движения материальной точки в координатной форме, спроецировав равенство (2) и, например, 2-ое уравнение (12) на оси координат:

(14)

(15)

Используя известные уравнения из кинематики, системы алгебраических (16) и дифференциальных (17), (18) уравнений движения точки в естественных осях можно получить, спроецировав (2) и (13) на естественные оси (напомним, бинормальный компонент вектора ускорения равен нулю) :

(16)

(17)

(18)

Сравним, например, системы уравнений (15) и (17). Легко увидеть, что в описание движения точки в координатных осях сводится к 3-м дифференциальным уравнениям 2-го порядка, или (после преобразования), к 6-и уравнениям 1-го порядка. В тоже время описание движения точки в естественных осях связано со смешанной системой уравнений, состоящей из одного дифференциального уравнения 1-го порядка (относительно скорости ) и двух алгебраических.

Отсюда можно сделать вывод, что при анализе движения материальной точки иногда проще решать первую и вторую задачи динамики, формулируя уравнения движения в естественных осях.

К первой или прямой задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по заданным уравнениям движения точки, ее массе необходимо найти силу (или силы) действующие на нее.

Ко второй или обратной задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по ее массе, силе (или силам), действующей на нее и известным кинематическим начальным условиям требуется определить уравнения ее движения.

Необходимо отметить, что при решении 1-й задачи динамики дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические, решение системы которых является тривиальной задачей. При решении 2-ой задачи динамики для решения системы дифференциальных уравнений необходимо сформулировать задачу Коши, т.е. добавить к уравнениям т.н. «краевые» условия. В нашем случае – это условия, налагающие ограничения на положение и скорость в начальный (конечный) момент времени, или т.н. «начальныеусловия» в виде заданных .

В алгебраическом виде для координатных осей эти условия такие:

Соответственно, для осей естественного трехгранника начальные условия таковы:

.

(21)

Дифференциальные уравнений движения механической системы

Рассмотрим некую механическую систему. Как уже говорилось в статике силы можно разделить на внешние и внутренние. Внешними силы (маркируются индексом «e», ) действуют на точки системы со стороны других, внешних тел, внутренние силы (маркируются индексом «i», ), действуют между точками данного тела (системы).

Поскольку по закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда парные (действуют на каждую из двух взаимодействующих точек), они равны, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки, то их сумма попарно равна нулю. Кроме того, сумма моментов этих двух сил относительно любой точки также равна нулю. Это означает, что сумма всех внутренних силисумма моментов всех внутренних сил механической системы порознь равны нулю:

,

(22)

.

(23)

Здесь , - соответственно главный вектор и главный момент внутренних сил, вычисленный относительно точки О.

Равенства (22) и (23) отражают свойства внутренних сил механической системы.

Пусть на некую k–ю материальную точку механической системы действуют одновременно как внешние, так и внутренние силы. Поскольку они приложены к одной точки, их можно заменить равнодействующими соответственно внешних ( ) и внутренних ( )сил. Тогда основной закон динамики k–й точки системы может быть записан, как , следовательно для всей системы будет:

(24)

Формально число уравнений в (24) соответствует числу n точек механической системы.

Выражения (24) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме, если в них заменить вектора ускорений первой или второй производными от скорости и радиус-вектора соответственно: По аналогии с уравнениями движения одной точки (15) эти векторные уравнения можно преобразовать в систему из 3n дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Общие теоремы динамики

Общими называются такие теоремы динамики материальной точки и механической системы, которые дают закономерности справедливые для любых случаев движения материальных обьектов в инерциальной системе отсчета.

Эти теоремы вообще говоря являются следствиями из решений системы дифференциальных уравнений, описывающей движения материальной точки и механической системы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: