Сделай Сам Свою Работу на 5

Интегрирование тригонометрических выражений.





Пусть - рациональная функция своих аргументов. Рассмотрим несколько случаев:

1-й случай. Интеграл универсальной тригонометрической подстановкой сводится к интегралу от рациональной функции. При этом .

С учетом сделанной замены получим ,

где - рациональная функция, интеграл от которой рассматривался выше.

Пример: Найти неопределенный интеграл: .

Решение: Сделаем универсальную тригонометрическую подстановку:

; .

Тогда .

Последний интеграл вычислим отдельно. Для этого выделим полный квадрат в знаменателе дроби:

Воспользовавшись заменой переменной получим

Окончательно находим:

= = .

Отметим, что универсальную тригонометрическую подстановку, как правило, используют в тех случаях, когда другие подстановки, приведенные ниже не приводят к желаемым результатам.

2-й случай. В интегралах , где и входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях делается замена . При этом

.

Этой же подстановкой к интегралам от рациональных функций приводятся интегралы вида .

Пример: Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: Сделаем подстановку:



; .

Тогда

.

Пример. Найти неопределенный интеграл: .

Решение:

Интегрирование выражений вида

, (6)

где mи n-целые числа. Рассмотрим два случая:

1-й случай. Среди чисел m,nесть хотя бы одно нечетное. Тогда за tпринимается функция, стоящая в основании другой степени.

Задача. Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: Здесь функция sinxстоит в нечетной степени, поэтому

;

2-й случай. В выражении (6) оба числаm,n- четные неотрицательные.

Положим m=2p, n=2q и применим формулы:

.

Тогда

Раскрыв скобки, получим сумму интегралов, к каждому из которых применим 1-й или 2-й способы:

.

1.10 Определенный интеграл: задача о площади криволинейной трапеции

Задача.

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линейно x=a; x=b; y=0; y=f(x)³0

Разобьем основание криволинейной трапеции отрезок [a,b] на n частей точками a=x0<x1<x2<…<xn=b. Обозначим через Dxi=xi – xi-1 длину i-го отрезка.

В каждом отрезке выберем произвольную точку

Ci Î[ xi, xi-1] и вычислим в ней значение функции f(Ci).



Заменим площадь i-й части криволинейной трапеции площадью прямоугольника с основанием и высотой f(Ci): ;

.

Причем равенство будет тем точнее, чем больше количество отрезков или чем меньше их длина.

 

1.11 Определение определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x)определена на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на части точками a=x0<x1<x2<…<xn=b. Обозначим через Dxi=xi – xi-1 .

В каждом из отрезков возьмем точку Ci Î[ xi -1, xi] и вычислим в ней значение функции f(Ci). Составим интегральную сумму Sn= . Если существует предел интегральных сумм, при max Dxi ®0, которые не зависят от способа разбиения отрезка [a,b] на части и способа выбора точек Ci, то он называется определенным интегралом от a до b, от функции f(x) на dx. . Где a – нижний предел, b – верхний предел, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение.

Теорема о существовании определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует определенный интеграл .

Замечание:

Определенный интеграл всегда является числом.

Определенный интеграл зависит от a, от b, от f(x) и не зависит от переменной интегрирования.

= = .

1.12Свойства определенного интеграла.

 
k-const
 
Т.к. длина отрезка ò=0
 
 
Если f(x) на [a;b], то  
, где
значение f(x) на [a;b]  
m – наименьшее

M – наибольшее

 
Существует точка С Î [a,b] такая, что  

1.13Интеграл с переменным верхним пределом и его производная.

Интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл от a до x по dx, где нижний предел число, а верхний предел – переменная интегрирования. . Геометрически это означает, что соответствующая площадь криволинейной трапеции будет переменной величиной.



Теорема: Производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна). =f(x).

Ñ Возьмем точку x и вычислим в ней значение функции J(x)= . Дадим x приращение Dx и вычислим значение функции. I(x+Dx)= = =

Функция I(x) получает приращение DI=I(x+Dx) – I(x)=

По теореме о среднем значении существует точка C Î(x,x+Dx), такая что = . Рассмотрим предел ,

т.к. при .

Из теоремы следует, что интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных подынтегральной функции.

 

1.14Формула Ньютона-Лейбница.

где F(x)-одна из первообразных f(x).

Рассмотрим , он является одной из первообразных f(x), т.е. , где C0 – конкретное значение const. Найдем C0. Подставим вместо верхнего предела x=a Þ Þ C0=-F(a) Þ . Подставим вместо верхнего предела x=b Þ

Формула позволяет вычислять определенный интеграл.

Пример: = = =

= = =

= =

1.15Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

Интегрирование по частям.

Например: = = =-1

Интегрирование с заменой переменной.

, где , .

Замечание: При замене переменной в определённом интеграле нужно поменять пределы интегрирования, причем решения уравнений и должны быть однозначными.

При замене переменной в определенном интеграле возвращаться к старой переменной не нужно.

Пример: = = = = =

1.16Вычисление площади плоских фигур в декартовой системе координат.

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x=a, x=b, y=0 и кривой y=f(x), где f(x) ³ 0.

Как известно, площадь такой криволинейной трапеции выражается через определенный интеграл: S =

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e2x, x=0, x=2, y=0. S= = = .

Замечание: Иногда криволинейную трапецию приходится разбивать на несколько частей. Площадь всей трапеции есть сумма площадей всех частей.

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, xy=1(y=1/x), x=0, x=2, y=0. Разобьем трапецию на две части S1 и S2. Площадь всей трапеции: S=S1+S2= = = .

В общем случае площадь фигуры, ограниченной слева прямой x=a, справа прямой x=b, сверху кривой y=f2(x),снизу кривой y=f1(x), причем f2(x) ³ f1(x).

В этом случае, неважно, где лежит криволинейная трапеция, выше оси OX или ниже, или часть выше, часть ниже. Самое главное, чтобы выполнялось f2(x) ³ f1(x).

1.17 Вычисление площадей при параметрическом задании функции.

Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями x=a, x=b, y=0, а верхняя граница задана параметрически . Как известно, площадь криволинейной трапеции равна S= = =S, так как dx=x¢(t)×dt, f(x)=y(t). Причем нижний предел интегрирования t1 соответствует точке x=a; x(t1)=a, верхний предел интегрирования t2 соответствует точке x=b; x(t2)=b.

Пример: Вычислить площадь эллипса. Параметрические уравнения эллипса

В силу симметричности фигур вычислим 1/4 площади. Для этой части x меняется от 0 до a. Найдем пределы интегрирования.

0 = a cos t, cos t = 0, t1=p/2

a = a cos t, cos t = 1, t2 = 0

Итак, =pab/4 Þ S= pab (ед2).

 

1.18Полярная система координат.

Рассмотрим на плоскости точку О, которую называют полюсом, и луч, выходящий из этой точки, который называется полярной осью. Зададим на полярной оси масштаб. Каждой точке M поставим в соответствие два числа r - длина радиус-вектора |`OM| и j - угол между радиус-вектором точки M и положительным направлением полярной оси.

Таким образом любая точка в полярной системе координат будет иметь две координаты M(r,j), r – полярный радиус, j – полярный угол. Очевидно, что r – величина неотрицательная (как длина любого вектора), а угол j может быть любой.

Если угол j измерен против часовой стрелки, то его будем считать положительным, если по часовой стрелке, то отрицательным.

Изображение линий в полярной системе координат.

r= R – окружность с центром в полюсе и радиусом R.

j= a - луч под углом к полярной оси .

r= j – при построении любой кривой в полярной системе координат, нужно задавать различные значения полярного угла j и вычислять соответственно значения полярного радиуса r. Если r получится меньше нуля, то картинки не будет (этой части рисунка не будет)

 

Спираль Архимеда Кардиоида трех лепестковая роза окружность Лемниската Бернулли
r=j r=1+cos j r=cos3j r=4cosj r2=cos2j

Связь между декартовой и полярной системами координат.

Если полярную и декартову систему координат совместить так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось с положительным направлением оси 0x, то можно получить формулы перехода от полярных координат (r; j) к декартовым (x; y):

, и от декартовых к полярным: ,

1.19Вычисление площади в полярной системе координат и кривой заданной параметрически.

Если в декартовой системе координат вычисляется площадь криволинейной трапеции, то в полярной системе вычисляется площадь криволинейного сектора.

Определение: Криволинейным сектором называется фигура, заключенная между двумя лучами, выходящими из полюса под углами j=a и j=b и кривой, заданной в полярной системе координат r=r(j).

Разобьем криволинейный сектор лучами j=j i, i = 0…n на части a=j0 <j1<j2<…<jn=b

j =a, j =b, r =r(j).

 

 

 


В каждой части произвольным образом выбираем точку Ci и вычисляем в ней значение ri =r(Ci) угол i- части . Заменим площадь i- части площадью кругового сектора = = = =

Просуммируем площади всех круговых секторов .

Сумма этих площадей приближенно равна площади исходного криволинейного сектора. Причем, чем больше будет частей разбиения, тем меньше будет Dji , тем точнее будет равенство.

В ПСК S= .

 

1.20Вычисление длины дуги кривой в декартовой системе координат.

Нужно вычислить длину плоской кривой L, заданной уравнением y=f(x) на отрезке [a,b].

Разобьем отрезок на части точками xi где I=0…n, a=x0<x1<x2<…<xn=b.

Через эти точки проведем прямые параллельные оси OY, которые разобьют кривую на M частей. Выпишем в эти части ломанную.

Длина I-ого звена ломанной: Dli=

Просуммируем сумма длин звеньев ломанной приближенно равна длине кривой. Переходя к пределу: = =

Пример: Вычислить длину полукубической параболы , где , x=0, x=1. = = =

 

1.21Вычисление длины дуги в полярной системе координат и кривой заданной параметрически.

В декартовой системе координат длина дуги L= . Рассмотрим подынтегральное выражение внесем dx под корень - это выражение называется дифференциалом дуги. L= .

Если кривая L задана параметрически.

= =

Длина кривой заданной параметрически, выражается через определенный интеграл L= .

Замечание: При вычислении длины кривой заданной параметрически нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего предела интегрирования.

Пример: Найти длину 1 арки циклоиды.

Вычислим длину 1 арки циклоиды
0£t£2p

= = = = = = ==

L= = = = =-4(-1-1)=

=8 (ед)

Если кривая L задана в полярной системе координат

 

= =

= =

=

Длина дуги кривой в полярной системе координат L=

Пример: Вычислить длину кардиоиды . В силу симметричности кривой вычислим ½ длины. Полярный угол ½L= = =

= = = = =

= =

½L= = =4(1-0)=4 Þ L=4*2=8 (ед).

1.22Объем тела через площадь поперечного сечения.

Пусть дано некоторое тело и известно, что площадь поперечного сечения плоскости перпендикулярна оси OX. Разобьем тело на части плоскостями x=xi перпендикулярными оси OX. Отрезок [a,b], лежащий на оси OX, разобьется соответственно точками xi на n частей: a=x0<x1<x2<…<xn=b. Dxi = xi+1 – xi - длина [xi ; xi+1]. В каждой точке x принадлежащей отрезку [a,b] известно поперечное сечение этого тела, то есть площадь поперечного сечения является функцией от x(S(x)). На i отрезке выберем произвольную точку Ci и заменим объем i части тела объемом прямого цилиндра Vi = Sосн × высоту=S(Ci) × Dxi ; объем тела приближенно равен сумме объемов прямых цилиндров VT » ; Причем равенство будет тем точнее, чем больше частей разбиения тела и чем меньше длина отрезка Dxi . Переходя к пределу получаем VT= . Этот предел интегральных сумм является определенным интегралом где S(x) – площадь поперечного сечения.

 

Объем тела вращения.

Определение: Если криволинейная трапеция ограничена линиями y=0; x=a; x=b; y=f(x), где f(x)³0 вращается вокруг оси OX, то полученное тело называется телом вращения вокруг оси OX.

Как известно, объем тела выражается через площадь поперечного сечения по формуле: . В данном случае поперечными сечениями являются круги радиусом Rкр=f(x); Sкр=S(x) = pf 2(x) Þ VOX= . Если криволинейная трапеция ограниченная линиями вращается вокруг оси OY, то объем полученного тела вращения VOY=

Замечание: Если фигура не является криволинейной трапецией, то ее нужно разбить на нужные части, либо достроить нужные части и вычислять объем тела вращения, как неполый через сумму или разность объемов частей.

Пример: Вычислить объемы тел вращения, ограниченного линиями y=0; x=0; x=1; y=ex.

 

 
 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.