Интегрирование тригонометрических выражений.
Пусть - рациональная функция своих аргументов. Рассмотрим несколько случаев:
1-й случай. Интеграл универсальной тригонометрической подстановкой сводится к интегралу от рациональной функции. При этом .
С учетом сделанной замены получим ,
где - рациональная функция, интеграл от которой рассматривался выше.
Пример: Найти неопределенный интеграл: .
Решение: Сделаем универсальную тригонометрическую подстановку:
; .
Тогда .
Последний интеграл вычислим отдельно. Для этого выделим полный квадрат в знаменателе дроби:
Воспользовавшись заменой переменной получим
Окончательно находим:
= = .
Отметим, что универсальную тригонометрическую подстановку, как правило, используют в тех случаях, когда другие подстановки, приведенные ниже не приводят к желаемым результатам.
2-й случай. В интегралах , где и входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях делается замена . При этом
.
Этой же подстановкой к интегралам от рациональных функций приводятся интегралы вида .
Пример: Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: Сделаем подстановку:
; .
Тогда
.
Пример. Найти неопределенный интеграл: .
Решение:
Интегрирование выражений вида
, (6)
где mи n-целые числа. Рассмотрим два случая:
1-й случай. Среди чисел m,nесть хотя бы одно нечетное. Тогда за tпринимается функция, стоящая в основании другой степени.
Задача. Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: Здесь функция sinxстоит в нечетной степени, поэтому
;
2-й случай. В выражении (6) оба числаm,n- четные неотрицательные.
Положим m=2p, n=2q и применим формулы:
.
Тогда
Раскрыв скобки, получим сумму интегралов, к каждому из которых применим 1-й или 2-й способы:
.
1.10 Определенный интеграл: задача о площади криволинейной трапеции
Задача.
Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линейно x=a; x=b; y=0; y=f(x)³0
Разобьем основание криволинейной трапеции отрезок [a,b] на n частей точками a=x0<x1<x2<…<xn=b. Обозначим через Dxi=xi – xi-1 длину i-го отрезка.
В каждом отрезке выберем произвольную точку
Ci Î[ xi, xi-1] и вычислим в ней значение функции f(Ci).
Заменим площадь i-й части криволинейной трапеции площадью прямоугольника с основанием и высотой f(Ci): ;
.
Причем равенство будет тем точнее, чем больше количество отрезков или чем меньше их длина.
1.11 Определение определенного интеграла.
Пусть функция y=f(x)определена на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на части точками a=x0<x1<x2<…<xn=b. Обозначим через Dxi=xi – xi-1 .
В каждом из отрезков возьмем точку Ci Î[ xi -1, xi] и вычислим в ней значение функции f(Ci). Составим интегральную сумму Sn= . Если существует предел интегральных сумм, при max Dxi ®0, которые не зависят от способа разбиения отрезка [a,b] на части и способа выбора точек Ci, то он называется определенным интегралом от a до b, от функции f(x) на dx. . Где a – нижний предел, b – верхний предел, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение.
Теорема о существовании определенного интеграла.
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует определенный интеграл .
Замечание:
Определенный интеграл всегда является числом.
Определенный интеграл зависит от a, от b, от f(x) и не зависит от переменной интегрирования.
= = .
1.12Свойства определенного интеграла.
1.13Интеграл с переменным верхним пределом и его производная.
Интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл от a до x по dx, где нижний предел число, а верхний предел – переменная интегрирования. . Геометрически это означает, что соответствующая площадь криволинейной трапеции будет переменной величиной.
Теорема: Производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна). =f(x).
Ñ Возьмем точку x и вычислим в ней значение функции J(x)= . Дадим x приращение Dx и вычислим значение функции. I(x+Dx)= = =
Функция I(x) получает приращение DI=I(x+Dx) – I(x)=
По теореме о среднем значении существует точка C Î(x,x+Dx), такая что = . Рассмотрим предел ,
т.к. при .
Из теоремы следует, что интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных подынтегральной функции.
1.14Формула Ньютона-Лейбница.
где F(x)-одна из первообразных f(x).
Рассмотрим , он является одной из первообразных f(x), т.е. , где C0 – конкретное значение const. Найдем C0. Подставим вместо верхнего предела x=a Þ Þ C0=-F(a) Þ . Подставим вместо верхнего предела x=b Þ
Формула позволяет вычислять определенный интеграл.
Пример: = = =
= = =
= =
1.15Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям.
Например: = = =-1
Интегрирование с заменой переменной.
, где , .
Замечание: При замене переменной в определённом интеграле нужно поменять пределы интегрирования, причем решения уравнений и должны быть однозначными.
При замене переменной в определенном интеграле возвращаться к старой переменной не нужно.
Пример: = = = = =
1.16Вычисление площади плоских фигур в декартовой системе координат.
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x=a, x=b, y=0 и кривой y=f(x), где f(x) ³ 0.
Как известно, площадь такой криволинейной трапеции выражается через определенный интеграл: S =
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e2x, x=0, x=2, y=0. S= = = .
Замечание: Иногда криволинейную трапецию приходится разбивать на несколько частей. Площадь всей трапеции есть сумма площадей всех частей.
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, xy=1(y=1/x), x=0, x=2, y=0. Разобьем трапецию на две части S1 и S2. Площадь всей трапеции: S=S1+S2= = = .
В общем случае площадь фигуры, ограниченной слева прямой x=a, справа прямой x=b, сверху кривой y=f2(x),снизу кривой y=f1(x), причем f2(x) ³ f1(x).
В этом случае, неважно, где лежит криволинейная трапеция, выше оси OX или ниже, или часть выше, часть ниже. Самое главное, чтобы выполнялось f2(x) ³ f1(x).
1.17 Вычисление площадей при параметрическом задании функции.
Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями x=a, x=b, y=0, а верхняя граница задана параметрически . Как известно, площадь криволинейной трапеции равна S= = =S, так как dx=x¢(t)×dt, f(x)=y(t). Причем нижний предел интегрирования t1 соответствует точке x=a; x(t1)=a, верхний предел интегрирования t2 соответствует точке x=b; x(t2)=b.
Пример: Вычислить площадь эллипса. Параметрические уравнения эллипса
В силу симметричности фигур вычислим 1/4 площади. Для этой части x меняется от 0 до a. Найдем пределы интегрирования.
0 = a cos t, cos t = 0, t1=p/2
a = a cos t, cos t = 1, t2 = 0
Итак, =pab/4 Þ S= pab (ед2).
1.18Полярная система координат.
Рассмотрим на плоскости точку О, которую называют полюсом, и луч, выходящий из этой точки, который называется полярной осью. Зададим на полярной оси масштаб. Каждой точке M поставим в соответствие два числа r - длина радиус-вектора |`OM| и j - угол между радиус-вектором точки M и положительным направлением полярной оси.
Таким образом любая точка в полярной системе координат будет иметь две координаты M(r,j), r – полярный радиус, j – полярный угол. Очевидно, что r – величина неотрицательная (как длина любого вектора), а угол j может быть любой.
Если угол j измерен против часовой стрелки, то его будем считать положительным, если по часовой стрелке, то отрицательным.
Изображение линий в полярной системе координат.
r= R – окружность с центром в полюсе и радиусом R.
j= a - луч под углом к полярной оси .
r= j – при построении любой кривой в полярной системе координат, нужно задавать различные значения полярного угла j и вычислять соответственно значения полярного радиуса r. Если r получится меньше нуля, то картинки не будет (этой части рисунка не будет)
Спираль Архимеда
| Кардиоида
| трех лепестковая роза
| окружность
| Лемниската Бернулли
| r=j
| r=1+cos j
| r=cos3j
| r=4cosj
| r2=cos2j
|
|
|
|
|
| Связь между декартовой и полярной системами координат.
Если полярную и декартову систему координат совместить так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось с положительным направлением оси 0x, то можно получить формулы перехода от полярных координат (r; j) к декартовым (x; y):
, и от декартовых к полярным: ,
1.19Вычисление площади в полярной системе координат и кривой заданной параметрически.
Если в декартовой системе координат вычисляется площадь криволинейной трапеции, то в полярной системе вычисляется площадь криволинейного сектора.
Определение: Криволинейным сектором называется фигура, заключенная между двумя лучами, выходящими из полюса под углами j=a и j=b и кривой, заданной в полярной системе координат r=r(j).
Разобьем криволинейный сектор лучами j=j i, i = 0…n на части a=j0 <j1<j2<…<jn=b
j =a, j =b, r =r(j).
В каждой части произвольным образом выбираем точку Ci и вычисляем в ней значение ri =r(Ci) угол i- части . Заменим площадь i- части площадью кругового сектора = = = =
Просуммируем площади всех круговых секторов .
Сумма этих площадей приближенно равна площади исходного криволинейного сектора. Причем, чем больше будет частей разбиения, тем меньше будет Dji , тем точнее будет равенство.
В ПСК S= .
1.20Вычисление длины дуги кривой в декартовой системе координат.
Нужно вычислить длину плоской кривой L, заданной уравнением y=f(x) на отрезке [a,b].
Разобьем отрезок на части точками xi где I=0…n, a=x0<x1<x2<…<xn=b.
Через эти точки проведем прямые параллельные оси OY, которые разобьют кривую на M частей. Выпишем в эти части ломанную.
Длина I-ого звена ломанной: Dli=
Просуммируем сумма длин звеньев ломанной приближенно равна длине кривой. Переходя к пределу: = =
Пример: Вычислить длину полукубической параболы , где , x=0, x=1. = = =
1.21Вычисление длины дуги в полярной системе координат и кривой заданной параметрически.
В декартовой системе координат длина дуги L= . Рассмотрим подынтегральное выражение внесем dx под корень - это выражение называется дифференциалом дуги. L= .
Если кривая L задана параметрически.
= =
Длина кривой заданной параметрически, выражается через определенный интеграл L= .
Замечание: При вычислении длины кривой заданной параметрически нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего предела интегрирования.
Пример: Найти длину 1 арки циклоиды.
| Вычислим длину 1 арки циклоиды
|
| = = = = = = ==
L= = = = =-4(-1-1)=
=8 (ед)
Если кривая L задана в полярной системе координат
= =
= =
=
Длина дуги кривой в полярной системе координат L=
Пример: Вычислить длину кардиоиды . В силу симметричности кривой вычислим ½ длины. Полярный угол ½L= = =
= = = = =
= =
½L= = =4(1-0)=4 Þ L=4*2=8 (ед).
1.22Объем тела через площадь поперечного сечения.
Пусть дано некоторое тело и известно, что площадь поперечного сечения плоскости перпендикулярна оси OX. Разобьем тело на части плоскостями x=xi перпендикулярными оси OX. Отрезок [a,b], лежащий на оси OX, разобьется соответственно точками xi на n частей: a=x0<x1<x2<…<xn=b. Dxi = xi+1 – xi - длина [xi ; xi+1]. В каждой точке x принадлежащей отрезку [a,b] известно поперечное сечение этого тела, то есть площадь поперечного сечения является функцией от x(S(x)). На i отрезке выберем произвольную точку Ci и заменим объем i части тела объемом прямого цилиндра Vi = Sосн × высоту=S(Ci) × Dxi ; объем тела приближенно равен сумме объемов прямых цилиндров VT » ; Причем равенство будет тем точнее, чем больше частей разбиения тела и чем меньше длина отрезка Dxi . Переходя к пределу получаем VT= . Этот предел интегральных сумм является определенным интегралом где S(x) – площадь поперечного сечения.
Объем тела вращения.
Определение: Если криволинейная трапеция ограничена линиями y=0; x=a; x=b; y=f(x), где f(x)³0 вращается вокруг оси OX, то полученное тело называется телом вращения вокруг оси OX.
Как известно, объем тела выражается через площадь поперечного сечения по формуле: . В данном случае поперечными сечениями являются круги радиусом Rкр=f(x); Sкр=S(x) = pf 2(x) Þ VOX= . Если криволинейная трапеция ограниченная линиями вращается вокруг оси OY, то объем полученного тела вращения VOY=
Замечание: Если фигура не является криволинейной трапецией, то ее нужно разбить на нужные части, либо достроить нужные части и вычислять объем тела вращения, как неполый через сумму или разность объемов частей.
Пример: Вычислить объемы тел вращения, ограниченного линиями y=0; x=0; x=1; y=ex.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|