|
|
Свойства золотого сеченияНепрерывная дробь Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида
где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью. Разложение в цепную дробь. Любое вещественное число x может быть представлено (конечной или бесконечной) цепной дробью
где х обозначает целую часть числа x. Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижении нулевого xn для некоторого n. В этом случае x представляется конечной цепной дробью .
Для иррационального x все величины xn будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью .
Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь. Подходящие дроби. n-ой подходящей дробью для цепной дроби Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:
Таким образом, величины pn и qn представляются значениями континуант:
Последовательности Откуда следует, что Примеры Разложим число π=3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, … Вторая дробь (22/7) — это известное архимедово приближение. Четвёртая (355/113) была впервые получена в Древнем Китае. В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение для Третья подходящая дробь: 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов[1]. Свойства · Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами. · Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами. · Для алгебраических чисел степени большей 2 характер разложений в непрерывную дробь неизвестен. Например, даже для · Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, для основания натурального логарифма: e − 1 = [1;1;2;1;1;4;1;1;6;1;1;8;...;1;1;2n − 2;1;1;2n;...] · Теорема Гаусса — Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина. · Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа x в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие n, то говорят, что число x относится к классу F(n). Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса F(4) и в виде произведения двух чисел из класса F(4).[3] В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы 3 чисел из класса F(3) и в виде суммы 4 чисел из класса F(2). Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.[4][5] Приложения цепных дробей Теория календаря При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:
Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал. Другие приложения · Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана ζ(3) · Решение в целых числах уравнения Пелля[6]: и других уравнений диофантова анализа · Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля) · Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC. · Характеристика ортогональных многочленов · Характеристика стабильных многочленов Свойства золотого сечения Интересный результат, которые следует из того факта, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел больше чем 1, состоит в том, что φ является одним из самых "трудных" действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Одна теорема (Теорема Гурвица) [7] утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n при помощи
Тогда когда практически все действительные числа k имеют в конечно счёте бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстояние от k, чем этот предел, приближения для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, и т.д.) последовательно "касаются границы", удерживая расстояние на почти точно расстоянии от φ, тем самым никогда не создавая приближения столь же внушительные как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано что любое действительное число формы (a + bφ)/(c + dφ) – где a, b, c иd являются целыми числами, такими как ad − bc = ±1 – имеют такое же свойство как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.
Литература В. И. Арнольд Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). Н. М. Бескин Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62. Н. М. Бескин Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20. А. А. Бухштаб Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с. И. М. Виноградов Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с. С. Н. Гладковский Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная: 2009. — 138 с. И. Я. Депман История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254. Г. Дэвенпорт Высшая Арифметика. — М.: Наука, 1965. А. Я. Хинчин Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960. Вопросы по теоретическому материалу: 1. Какую дробь называют непрерывной ? 2. Какую дробь называют подходящей дробью? 3. Сформулируйте свойства непрерывных дробей. 4. Разъясните смысл теории календаря. 5. Как непрерывные дроби связаны с золотым сечением? Задания для самостоятельной работы: (номер задания соответствует порядковому номеру в журнале теоретического обучения, по предмету математика) 1 ; 16.Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число. 2; 17. Число 1/42 разложили в бесконечную десятичную дробь. Затем вычеркнули 1997-ю цифру после запятой, а все цифры, стоящие справа от вычеркнутой цифры, сдвинули на 1 влево. Какое число больше: новое или первоначальное? 3; 18. Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей: а) 0,(12) + 0,(122); б) 0,(3) . 0,(4); в) 0,(9) - 0,(85). 4; 19. Назовем сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещенными. Известно, что запрещенных сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочетаний. 5; 20. В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе . Докажите, что a - иррациональное число. 6; 21. a1, a2, a3, ..., an, ... — возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что an + 1 ≤ 10an при всех натуральных n. Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0, a1a2a3..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая. 7; 22. Укажите такое шестизначное число N, состоящее из различных цифр, что числа 2N, 3N, 4N, 5N, 6N отличаются от него перестановкой цифр. 8; 23. Найдите цифры a и b такие, для которых
9; 24. Разложите в цепные дроби числа
10; 25. Разлагая число a/b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения ax - by = 1, если a) a = 101, b = 13; б) a = 79,b = 19. 11; 26. Юлианский календарь. Из астрономии известно, что год имеет 365, 2420...= [365;4, 7, 1, 3,...] так называемых ``календарных суток''. В Юлианском стиле каждый четвертый год — високосный, то есть состоит из 366 дней. За сколько лет при таком календаре накапливается ошибка в одни сутки? На сколько дней отстает Юлианский календарь за 1000 лет? И вообще, почему он отстает, если юлианский год длиннее астрономического? 12; 27. Персидский календарь. Наиболее точный календарь ввел в Персии в 1079 году персидский астроном, математик и поэт Омар Альхайями. Восстановите этот календарный стиль, рассмотрев третью подходящую дробь [365;4, 7, 1] к длительности астрономического года. За сколько лет в этом календаре накапливается ошибка в одни сутки? 13; 28. Решить уравнение в целых положительных числах
14; 29. Числа из электрической розетки. Найдите наименьшее натуральное n, для которого существует такое m, что решение имеет следующее двойное неравенство:
15;30. Вычислите следующие цепные дроби: а) [ 5;
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
, где
. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x.
и 
являются возрастающими.
неизвестно, конечно ли количество различных чисел в его разложении (последовательность A002945 в OEIS).
= 0, bbbbb...
и 
.
]; б) [ 5; 
]; в) [ 2; 
].