Геометрический смысл определённого интеграла.

Раздел III. Основы математического анализа в социально–экономической сфере.

Лекция 2Основы интегрального исчисления

План:

1. Первообразная. Понятие неопределённого интеграла.

2. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования.

3. Определённый интеграл. Формула Ньютона - Лейбница.

4. Вычисление определенного интеграла.

5. Применение интегрального исчисления в социально – экономической сфере.

1.Первообразная. Понятие неопределённого интеграла.

В дифференциальном исчислении решается задача нахождения производной по данной функции f(x), а в интегральном решается обратная задача: найти функцию F(x), зная её производную f(x). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

Определение. Первообразной для функции f(x) называется функция F(x), производная которой равна f(x), т.е.

Пример. Пусть , тогда , т.к. .

Очевидно, что если F(x) – первообразная функции f(x), то , где С - произвольная постоянная также будет первообразной, так как .

Определение. Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех ее первообразных:

где

Здесь знак ò называется знаком неопределённого интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx – подынтегральным выражением.

Операция нахождения первообразной данной функции называется интегрированием.

Различают 2 типа интегральных операций над функциями:

· операция неопределенного интегрирования,

· операция определенного интегрирования.

Сразу отметим, что результат операции неопределённого интегрирования есть функция, а результат определённого интегрирования является число.

Некоторые свойстванеопределённого интеграла:

1. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2. производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.

3. интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования.

Таблица основных неопределенных интегралов

1. ,

Пример, (формула 1)

а) ;

Основные методы интегрирования:

1. Непосредственное интегрирование основано на свойствах неопределенного интеграла и на таблице основных неопределённых интеграловò.

Пример. =

= .

2. Метод подстановки или метод замены переменных состоит в замене независимой переменной x на другую независимую переменную, например, t с помощью дифференциальной связи , тогда . В результате получим: Замена должна быть подобрана так, чтобы функция совпадала с одной из подынтегральных функций в таблице неопределённых интегралов. После нахождения интеграла правой части следует перейти от новой переменной интегрирования к старой переменной x.

Пример.

3. Метод интегрирования по частямоснован на интегрировании соотношения:

Эта формула сводит вычисление интеграла к такому, который более прост, при этом подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух сомножителей.

Группы интегралов, берущихся по частям

1. Подынтегральная функция в качестве множителя содержит одну из следующих функций:

и т.п. при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции. В этом случае, полагают u(x)равной одной из перечисленных функций.

2. К этой группе относятся интегралы вида:

где a – постоянное число; P_n(x) – многочлен степени n. Здесь считают u(x) = P_n(x), а за dv берём остальные сомножители.

3. К третьей группе относятся интегралы вида:

Применив формулу интегрирования по частям к любому из этих интегралов дважды, получим для нахождения интеграла уравнение 1-ого порядка.

Пример.

Определённый интеграл. Формула Ньютона - Лейбница.

Определенный интеграл обозначают:

a – нижний предел интегрирования,

b – верхний предел интегрирования,

[a, b] – промежуток интегрирования,

x – переменная интегрирования.

Геометрический смысл определённого интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f(x) (f(x) ³ 0), прямыми x = a, x = b и осью Ox, вычисляется с помощью определённого интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Определённый интеграл функции f(x), непрерывной на промежутке [a, b], равен разности значений " ее первообразной в точках b и a:

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.Она дает удобное правило вычисления определённого интеграла. Кроме того, она устанавливает связь между определённым и интегралом и неопределённым интегралом.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: