Основные методы интегрирования

Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом отf(x), если для всякого x ∈X справедливо равенство:

F^' (x) = f(x). (8.1)

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -

∫ f(x) dx.

Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то

∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

где С - произвольная постоянная.

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

1) d ∫ f(x)=f(x)dx,

2) ∫df(x)=f(x)+C,

3) ∫af(x)dx=a ∫f(x)dx (a=const),

4) ∫(f(x)+g(x))dx= ∫f(x)dx+ ∫g(x)dx.

Список табличных интегралов

1. ∫x^m dx = x^m+1/(m + 1) +C; (m ¹≠ -1).

2. = ln x +C.

3. ∫ a^x dx = a^x/ln a + C (a>0, a¹ ≠1).

4. ∫e^x dx = e^x + C.

5. ∫sin x dx = cos x + C.

6. ∫cos x dx = - sin x + C.

7. = arctg x + C.

8. = arcsin x + C.

9. = tg x + C.

10. = - ctg x + C.

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z =g (x) имеет на [a,b] непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤ β, то

∫ f(g(x)) g^' (x) dx = ∫f(z) dz, (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

∫ f(g(x)) g (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Например:

1) ;

2) .

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцированияпроизведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu. (8.4)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫ x^k ln^mx dx, ∫x^k sin bx dx, ∫ x^k cos bx dx, ∫x^k e ^ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x₀ < x₁ <...<x_n = b. Из каждого интервала (x_i-1, x_i) возьмем произвольную точку x_i и составим сумму f(x_i)Δ x_i, где
Δx_i = x_i - x_i-1. Сумма вида f(x_i)Δ x_i называется интегральной суммой, а ее предел при λ = max Δx_i→ 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

f(x_i)Δ x_i. (8.5)

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b],числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (k = const, k∈R);

5) ;

6) ;

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈a,b]).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

. (8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует, или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах
(- ∞, b] и (- ∞, + ∞):

.

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до bназывается сумма:

,

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

= .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: