Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

План

1. Многочлен в комплексной плоскости. Теорема Безу. Корни многочлена.

2. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители.

3. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.

Многочлен в комплексной плоскости. Теорема Безу. Корни многочлена

Перед тем как непосредственно перейти к вопросу об интегрировании рациональных функций необходимо рассмотреть алгебру многочленов, основные свойства и правила преобразований рациональных функций, что и делается в дальнейшем.

Опр. Многочленом (полиномом) -й степени называется выражение вида

, (1)

где коэффициенты , , – постоянные числа (как правило, действительные), и . Число называется степенью многочлена.

Опр. Число (вообще говоря, комплексное), такое, что

,

называется корнем многочлена (1).

ТЕОРЕМА (основная теорема алгебры). Всякий многочлен степени ( ) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

ТЕОРЕМА БЕЗУ. Число является корнем много­члена тогда и только тогда, когда многочлен делится без остатка на :

. (2)

Опр. Если многочлен делится на ( – неотрицательное целое) и не делится на , то число называется кратностью корня .

Если равно кратности корня многочлена , то выполняется равенство

. (3)

где – такой многочлен степени , что .

ТЕОРЕМА. Если , ,…, – корни многочлена -й степени (в общем случае комплексные, причем при кратном корне он повторяется столько раз какова его кратность), то данный многочлен единственным образом можно представить в виде

, (4)

где – коэффициент при .

Если же среди корней многочлена имеются кратные, то данный многочлен принимает вид:

, (5)

где , , ..., – различные корни многочлена , а числа ( ) – соответствующие кратности корней .

Таким образом, если учитывать кратность каждого корня, то всякий многочлен степени имеет в точности корней.

ТЕОРЕМА. Если комплексное число является корнем многочлена (1) с вещественны­ми коэффициентами, то сопряженное число также является его корнем и притом той же кратности, что и .

Используя это свойство, заменим в разложении многочлена на множители комплексные выражения и их произведением , которое является много­членом второй степени с действительными коэффициентами:

.

Здесь , , .

Тогда разложение (5) многочлена принимает вид

, (6)

где , , и все коэффициенты , , …, ; , , …, , вещественны. При этом , …, – все вещественные корни многочлена , а каждому комплексному корню и сопряженному корню соответствует множитель вида .

Разложение (6) многочлена на множители единственно, поскольку оно однозначно определяется корнями этого многочлена и их кратностями.

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители

Опр. Пусть и – многочлены с вещественными коэф­фициентами. Рациональная дробь – называется правильной, если степень многочлена меньше степени многочлена .

Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления много­членов, ее можно представить в виде

,

где , и – некоторые многочлены, а – пра­вильная рациональная дробь.

ТЕОРЕМА. Пусть – правильная рациональном дробь и – многочлены с вещественными коэффициентами, а знаменатель дроби можно представить в виде разложения

, (7)

здесь – попарно различные вещественные корни многочлена кратности , , а выражения соответствуют попарно различным комплекс­ным корням и кратности , . Тогда су­ществуют вещественные числа

, , ,

и , ,

такие, что

. (8)

Опр. Рациональные дроби вида

, ,

где , , , , и – действительные числа, а , называются элементарными рациональными дробями.

Таким образом, всякая пра­вильная рациональная дробь может быть разложена в сумму эле­ментарных рациональных дробей.

Различают четыре типа элементарных рациональных дробей.

1-й тип. Рациональные дроби вида ;

2-й тип. Рациональные дроби вида, , ;

3-й тип. Рациональные дроби вида, ;

4-й тип. Рациональные дроби вида, , .

На практике приведение рациональной дроби к выражению (8) осуществляется с помощью метода неопределенных коэффициентов, который состоит из следующих шагов.

1. Выполняется разложение знаменателя данной дроби на множители.

2. Для данной дроби записывается разложение вида (8), коэффициенты , , которого считаются неиз­вестными ( , , , ).

3. Обе части равенства приводятся к общему знамена­телю, который далее отбрасывается.

4. Приравниваются коэффициенты у полученных многочленов, что приводит к системе уравнений с неизвест­ными.

5. В результате решения полученной системы находятся искомые коэффициенты , , .

Поиск коэффициентов , и может быть упрощен, если после выполнения шага 3 подставить в полученное выражение вещественные корни знаменателя . В этом случае число неизвестных коэффициентов и соответствующих уравнений может быть уменьшено. В некоторых случаях можно вообще обойтись без решения системы.

Пример. Выполним разложение на элементарные дроби выражения

.

Представим искомое разложение в виде

и, приводя к общему знаменателю, получим

.

Отбросим знаменатель

,

раскроем скобки возле каждого искомого коэффициента

и сгруппируем выражения в правой части по степеням :

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

:
:
:

и запишем полученную систему уравнений

Решением этой системы являются значения искомых коэффициентов

, , .

Другим способом поиска неизвестных , и является подстановка в выражение

вещественных корней знаменателя :

– подставляя , получим , откуда следует ;

– подстановка дает равенство , откуда ;

– подстановка приводит к уравнению , решением которого является .

Таким образом, искомое разложение имеет вид

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: