Определение определенного интеграла.
Интегрирование функций.
Неопределенный интеграл.
Определение неопределенного интеграла.
Восстановление функции по известной производной этой функции называется интегрированием функции.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором отрезке [а;в] если для всех значений х на данном отрезке выполняется равенство F¢(x) = f(x).
Множество всех функций, производные которых равны f(x), обозначается символом
òf(x)dx
и называется неопределенным интегралом от функции f(x).
В данной формуле по определению:
f(x) – подинтегральная функция,
f(x)dx – подинтегральное выражение.
Если F(x) – первообразная для функции f(x), то множество функций
F(x) + C будет неопределенным интегралом от функции f(x), т.е.:
òf(x)dx = F(x) + C,
где С – произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла.
Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства.
1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:
[òf(x)dx]¢ = [F(x) + C] = F¢(x) = f (x)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
òK f(x)dx = K òf(x)dx
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
òdF(x) = F(x) + C
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности:
ò(f(x) ± g(x))dx = òf(x)dx ± òg(x)dx
Таблица основных интегралов.
Нижеприведенная таблица неопределенных интегралов получена либо из сравнения с таблицей производных из понимания того, что интегрирование – процедура, обратная дифференцированию, либо непосредственным дифференцированием правой части формулы. Таблица очень краткая и приведена в качестве иллюстрации.
№
п/п
|
òf(x)dx= F(x) + C
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные методы интегрирования.
Нахождение неопределенного интеграла – сложная математическая задача, нет единого универсального метода, который позволил бы решить данную задачу. По алгебраическому виду интеграла его можно отнести к определенному классу интегралов, для которых метод нахождения неопределенного интеграла разработан. Хотя существует много различных методов интегрирования, все они основаны на преобразовании (приведении) первоначального интеграла к табличному виду. Рассмотрим некоторые из простых методов.
Метод интегрирования по формулам.
Способ нахождения неопределенных интегралов методом непосредственного использования таблицы интегралов в литературе по математическому анализу имеет несколько названий: непосредственное интегрирование, метод тождественных преобразований, метод интегрирования по формулам. Как правило, для того, чтобы привести интеграл к табличному виду, с первоначальным интегралом òf(x)dx необходимо проделать несложные тождественные преобразования.
Приведем несколько примеров.
1. ò(3cos x + 4x3 – ex )dx = ò3cos x dx + ò4x3 dx - òex dx = 3sin x + x4 - ex +C
2.
3.
=
Правильность интегрирования проверяется дифференцированием найденного неопределенного интеграла. Производная должна быть равна подитегральной функции. Проверка основана на свойстве равенства
F¢(x) = f(x).
Метод замены переменных.
В некоторых случаях введение новой переменной интегрирования
x = j(t) позволяет свести неопределенный интеграл
òf(x)dx (1)
к табличному виду. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.
Алгоритм метода замены переменной для неопределенного интеграла следующий:
1. Введем новую переменную x = j(t) которая должна свести интеграл (1) к табличному виду. Решая данное уравнение относительно t имеем:
t = ψ(x)
2. В первоначальном интеграле (1) сделаем замену переменных:
f (x)=
dx = j¢(t)dt
( 2 )
3. Интеграл (2) должен решаться в силу основного свойства подстановки x = j(t): данная подстановка должна сводить первоначальный интеграл к табличному виду. Решение интеграла (2) имеет следующий вид:
( 3 )
4. В интеграле (3) сделаем замену переменных t = ψ(x), то есть возвращаемся к первоначальной переменной х:
F(t) + C = F(ψ(x)) + C ( 4 )
Для того, чтобы убедиться в том, что найденный интеграл (4) найден правильно, можно продифференцировать выражение (4) и сравнить с подинтегральной функцией интеграла (1). Подинтегральная функция f(x) должна совпадать с производной F¢(ψ(x)):
F¢(ψ(x)) = f(x).
3.4.3. Примеры нахождения неопределенного интеграла.
В данном примере один и тот же интеграл решен двумя разновидностями метода подстановки.
Найти неопределенный интеграл
1 способ.
1. = -
1.1. Делаем замену переменных: t = cos x
1.2. Выражаем старую переменную через новую: x = arccos t
1.3. По определению дифференциала:
dx = j¢(t)dt = (arccos t )′ dt =
dx=
1.4. sin2x + cos2x = 1, т.к. t = cos x, то sin2x + t2 = 1,
sin x =
1.5. Заменяем в первоначальном интеграле cos x, sin x, dx через t.
1.6. Первоначальный интеграл свелся к табличному относительно t. Найти интеграл относительно t .
1.7. При использовании метода подстановки надо помнить, что после взятия неопределенного интеграла необходимо возвращаться от новой переменной t к первоначальной переменной x. Возвращаемся от переменной t к переменной х.
2 способ.
2.
2.1. Вводим переменную t = cos x
2.2. Берем дифференциал от обеих частей и находим dx:
dt = - sin x dx
sin x dx = - dt
dx = - dt/ sin x
2.3. Подставляем вместо cos x и dx их выражения через t в первоначальный интеграл и сводим его к табличному.
Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла.
Пусть на отрезке [а; в] определена непрерывная функция f(x). Отрезок [а; в] разобьем на частичные отрезки Dx = xi+1- xi. Выберем на каждом отдельном отрезке Dxi произвольным образом точку ti и составим сумму:
S =
Если существует предел
I= , то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а; в], а число I называется определенным интегралом функции f(х) на отрезке [а; в] и обозначается символом:
По определению функция f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, a и b – пределы интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел).
Геометрически определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), снизу – отрезком [a; b] оси ОХ, с боков отрезками прямых х =а и х = b.
Рис. 2
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|