Вычисление площадей плоских фигур

Определенный интеграл.

Пусть функция определена и непрерывна (а значит, ограничена) на [a,b].

Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками

Длину каждого i-го отрезка разбиения назовем

, .

Внутри каждого отрезка разбиения выберем произвольно по точке .

Составим сумму

. (1)

Выражение вида (1) называется интегральной суммой функции f(x) по отрезку [a,b]. Если функция непрерывна на отрезке , то существует предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков стремится к нулю, и он не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора точек в каждом из них.

Опр. Предел интегральной суммы функции f(x) по отрезку [a,b] при стремлении длины наибольшего из частичных отрезков к нулю, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается

Числа а и в называют нижним и верхним пределами интегрирования. Функция называется интегрируемой на отрезке [a,b]. Любая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Из рисунка видно, что интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, образованной из прямоугольников шириной , высотой . При неограниченном измельчении длин отрезков разбиения площадь этой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции. Следовательно, определенный интеграл в геометрическом смысле равен площади криволинейной трапеции, заключенной между графиком неотрицательной функции и осью Ох на отрезке [a,b].

Свойства определенного интеграла.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Пусть функция y=f(x) интегрируема на отрезках [a,c] [b,c], a<c<b. Тогда она интегрируема и на отрезке [a,b] , причем

;

6. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то и их сумма также интегрируема по отрезку [a,b], причем

7. Если на отрезке [a,b] выполняется неравенство , то

8. Если промежуток интегрирования симметричен, то

, если - нечетная функция,

и , если - четная функция.

§2. Интеграл с переменным верхним пределом.

Вычисление определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она интегрируема как на отрезке [a,b], так и на любом меньшем отрезке [а,х], где [a,b]. Значит, величина

является функцией от х. Она называется интегралом с переменным верхним пределом и является первообразной для функции f(x). Другими словами, функция Ф(х) в каждой своей точке имеет производную, равную f(x):

Теперь перейдем к вопросу вычисления определенного интеграла.

Теорема. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(х) является первообразной для функции f(x). Тогда

(Эта основная формула интегрального исчисления называется формулой Ньютона-Лейбница. Она позволяет сводить вычисление определенного интеграла к нахождению первообразной.)

Док-во. Пусть функция y=f(x) имеет некоторую первообразную F(x). Тогда F(x)=Ф(x)+C, где - другая первообразная f(x). Имеем:

.▲

Пример.

1-6+9-27+54-27=4.

Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x=φ(t) определена на отрезке [α,β] и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем φ(α)=a, φ(β)=b и φ([α,β])=[a,b]. Тогда

Док-во. Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), тогда и . Тогда

.▲

Пример. Найти

Применим подстановку . Найдем новые пределы интегрирования: при ; при .

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Если функции и непрерывны вместе со своими производными на отрезке , то имеет место следующая формула интегрирования по частям:

Пример. Найти

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Полагая , , имеем: .

Следовательно:

Приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур

1. Для непрерывной неотрицательной на отрезке [а,в] функции y=f(x) площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции, осью Ох и прямыми х=а и х=в вычисляется по формуле:

2.Для непрерывной неположительнойна отрезке [а,в] функции y=f(x) площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции, осью Ох и прямыми х=а и х=в вычисляется по формуле:

3. Пусть на отрезке [а,в]. Тогда площадь фигуры, ограниченной сверху графиком f(x), снизу графиком g(x) и прямыми х=а и х=в вычисляется по формуле: