Сделай Сам Свою Работу на 5

Классическое определение вероятности события

Исход опыта называется благоприятнымсобытию А, если в результате опыта событие А свершилось. Вероятностью события A назовем число Р(А)= , где m – число благоприятных событию А исходов, n – число всех исходов в данном опыте.

Пример 4.Опыт- бросание игрального кубика. Событие А - выпадение числа очков, кратного 3. Пусть X – число очков, тогда все возможные исходы нашего опыта: (Х=1), (Х=2), (Х=3), (Х=4), (Х=5), (Х=6), равновозможны. Всего случаев n=6, благоприятных из них m=2, следовательно,

P(A) = = .

Элементы комбинаторики

Имеется совокупность n объектов, назовем ее генеральной совокупностью. Из генеральной совокупности наудачу отбираем m объектов, эту отобранную совокупность назовем выборкой.

Выборка может быть упорядоченной,если порядок объектов (элементов) играет роль, и может быть неупорядоченной,если порядок элементов роли не играет.

Выборка может быть без повторений, если элементы повторяться не могут, и может быть с повторениями,если элементы в выборке повторяются.

Например, телефонный номер 260-61-51 - упорядоченная выборка с повторениями из десяти цифр по семи.

Упорядоченная выборка из n элементов по m называется размещением,неупорядоченная выборка из n элементов по m называется сочетанием.Число размещений и сочетаний c повторениями и без повторений из n элементов по m можно найти из следующей таблицы.

Таблица 1

 

Пример 5. Два счета из десяти выполнены с ошибками. Найти вероятность того, что из четырех взятых на проверку счетов один счет окажется с ошибками.

Решение.

Воспользуемся классической формулой Р(А)= , всего случаев , так как имеем дело с неупорядоченными выборками без повторений, благоприятных из них . Следовательно,

Запомните: 0!=1.

Основные теоремы

Теорема 1. Теорема сложения вероятностей.

Р(А123+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+...+Р(Аn) - Р(А1·А2) - Р(А1·А3) - … -Р(А1·Аn) - Р(А2·А3) - ... - P(An-1·An)+P(А1·А2·A3)+P(А1·А2·A4)+...+P(Аn-2·Аn-1·An)+...+ +(-1)n-1 P(A1·A2·...·An).

Следствие 1.

Если события А1, А2, ... ,Аn несовместны,то

Р(А123+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+...+Р(Аn).

Следствие 2.



Вероятность суммы двух любых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, то есть Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А·В).

Замечание.

P(A) + P( ) = 1, откуда P( ) = 1−P(A).

Теорема 2. Теорема умножения вероятностей.

Условной вероятностьюР(А/В) события А относительно события В назовем вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Теорема умножения.

Р(А1·А2·А3·...·Аn)=Р(А1)·Р(А21)·Р(А31·А2) ·...·Р(Аn1·А2·А3·...·Аn-1).

Правило (теорема) умножения для двух событий. Вероятность произведения двух любых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно первого, то есть

Р(А·В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А/В).

Событие А называется независимымот события В, если условная вероятность события А относительно события Bравна безусловной вероятности события А, то есть Р(А/В)=Р(А). Нетрудно доказать, что если А не зависит от В, то и В не зависит от А.

Следствие.Если события А и В независимы,то Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

Пример 6. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов. Какова вероятность того, что он ответит на два выбранных наудачу вопроса?

Решение.

Рассмотрим события: А- студент знает ответ на первый вопрос, В- студент знает ответ на второй вопрос. Найдем Р(А·В).

Р(А·В) = Р(А)·Р(В/А) =

Определение.Несколько событий называют независимыми(или независимыми в совокупности), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следовательно, если А1, А2, ... ,Аn независимы, то справедливо правило умножения для независимых событий

Р(А1·А2·А3·...·Аn)=P(A1)·P(A2)·P(A3)·...·P(An).

Пример 7.Два студента выполняют независимо друг от друга задание. Вероятность того, что задание будет выполнено первым студентом 0,6; для второго студента эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что

• оба студента выполнят задание;

• только один из них выполнит задание;

• хотя бы один из них выполнит задание.

Решение.

События: А - задание выполнит первый студент, В - задание выполнит второй студент. По условию Р(А) = 0,6; Р(В)=0,8; следовательно, Р( ) = 1–0,6 = 0,4; P( ) = 1–0,8 = 0,2.

• Р(А·В) = /события А и В - независимые события / = Р(А)·Р(В) = 0,6·0,8 = 0,48.

• Р(А· + ·B) = / A· и ·B - несовместные события /= Р(А· ) + Р( ·B) = Р(А)·Р( ) + Р( )·Р(В) = 0,6·0,2 + 0,4·0,8 = 0,44.

• P(A+B)=/ А и В-совместные события /= Р(А)+Р(В)-Р(А·В)=0,6+0,8– –0,48=0,92.



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.