ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Рассмотрим функцию:

Th.1 Пусть :

1. g(x) определена в , функция f(t) определена в , где .

2. g(x) дифференцируема в точке (т.е. ).

Тогда :

(1)

Доказательство:

а) пусть n=1. g(x) дифференцируема в точке

, . Причем

Пусть при :

(*)

Т.к. непрерывна в точке при

. Кроме того

= переходим к пределу в (*)при :

б) n>1. Это частный случай пункта а), т.к. рассматриваемая функция т.е. имеем y=g(x).

, т.к. ч. и т. д.

Выпишем формулу (1) для всех частных случаев: n=1, k=2:

ПРИМЕР.

n=2, k=2:

Пусть , где

ПРИМЕР.

df.1 Пусть ,

и удовлетворяет условиям Th.1 в точке . Тогда

- полная производная.

Доказательство формулы следует из Th.1 при . При .

Th.2 (Инвариантность формы записи первого дифференциала)

Пусть y=g(x) – дифференцируема в точке - дифференцируема в точке

1. Сложная функция y=g(x(t))=F(t) – дифференцируема в точке .

2. (Б/Д).

ЗАМЕЧАНИЕ.

Пусть функция f(x), дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества . Тогда в каждой точке можно вычислить дифференциал: .

Он будет функцией 2n переменных причем при

фиксированных дифференциал есть линейная функция . Правила дифференцирования такие же, как и для функции одной переменной.

а)

б)

в) , если .

Докажем б).

Из Th о дифференцируемости сложной функции следует, что функция

U(x)V(x) дифференцируема, если дифференцируемы U(x) и V(x). Далее имеем: =

= .

ПРИМЕР.

Найти дифференциал функции .

Решение. Пусть , тогда:

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Пусть дана функция . Определенные ранее частные производные называют также частными производными первого порядка.

Пусть теперь для -ет частная производная по в точке . Тогда называют частными производными второго порядка.

Аналогично. Частной производной порядка называется частная производная (по любой переменной ) от частной производной порядка .

Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной.

Например: и т.д.

Пусть , т.е. - определена в некоторой области E. - также являются функциями двух переменных и определены в области E или ее части.

Частные производные по x и y от функций в точке (x,y) если они существуют, называются частными производными второго порядка в точке (x,y) и т.д.

Аналогично определяются частные производные более высокого порядка.

Для функции , f определена в области E, z=f(x,y) –частные производные третьего порядка определяются формулами:

ПРИМЕР.

Имеем: , , , .

В этом примере смешанные частные производные равны друг другу. Вообще говоря, значения смешанных производных зависит от порядка, в котором производится последовательные дифференцирования.

Нетрудно заметить, что число частных производных с увеличением порядка возрастает. Однако, некоторые из них при наличии условий совпадают.

Th.1 Пусть определена вместе со своими частными производными в окрестности до порядка ”m”.

Пусть смешанные частные производные m-го порядка непрерывны в точке .

Тогда смешанные частные производные порядка ”m” не зависят от порядка дифференцирования. (Б/Д).

Следует отметить, что это условие достаточное.

Перефразируем Th.1 для случая функции двух переменных.

n=2 m=1:

Пусть определены в точке непрерывны в точке . Тогда, частные производные . (Б/Д).

df.1 Пусть имеет на G непрерывные частные производные до порядка ”m” включительно. Это обозначаем: .

ПРИМЕР.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Пусть и f дифференцируема в окрестности точки . Рассмотрим дифференциал:

- это дифференциал первого порядка.

Вторым дифференциалом функции f в точке называется дифференциал от первого дифференциала при условиях:

1) дифференциалы независимых переменных при вычислении вторых дифференциалов остаются постоянными.

2) И старые приращения равны новым приращениям независимых переменных. Обозначение:

df.2 Дифференциалом порядка “m” функции f в точке

называется дифференциал от дифференциала порядка “m-1” при тех же предположениях, что и в предыдущем определении.

Th.2 Пусть функция , тогда :

(Б/Д).

СЛЕДСТВИЕ.

(n=2) Пусть , тогда :

, где

(Б/Д).

В частности если функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то, воспользовавшись теоремой о равенстве смешанных производных, получаем:

= .

ЗАМЕЧАНИЕ.

Если ввести формально дифференциальный оператор:

(1)

то выражение для дифференциалов можно записать в удобной символической форме:

Под произведением дифференциальных операторов понимается их последовательное применение. Например, если , то

(2)

; При применении дифференциальных операторов вида (1) нужно пользоваться правилом (2). При этом дифференциалы независимых переменных перемножаются как вещественные числа.