Теорема Лагранжа о конечном приращении функции

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, то на интервале (a, b) найдется такая точка х = с, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим вспомогательную функцию y = F(x), которая будет удовлетворять условиям теоремы Ролля.

.

Здесь - уравнение хорды, стягивающей граничные точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)) графика функции (рис. 27); k – угловой коэффициент этой хорды. На рисунке для любого значения х ордината равняется разности ординаты и ординаты касательной ( ).

Рис. 27

Очевидно, что функция y = F(x) является непрерывной на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, так как образована с помощью функций и y = x – a, удовлетворяющих этим условиям.

Покажем, что функция y = F(x) принимает равные значения в граничных точках отрезка . Действительно,

;

.

Следовательно, функция y = F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и поэтому найдется такая внутренняя точка отрезка х = с, в которой производная этой функции равна нулю. Найдем производную функции

.

Значение производной функции в точке х = с равно

.

Отсюда получаем

.

Часто рассматривают функцию y = f(x) на отрезке . В этом случае последняя формула имеет вид

Û .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

На основании формулы можно утверждать следующее.

Рис. 28

Если график функции y = f(x) непрерывный на отрезке и гладкий на интервале , то на этом интервале найдется такая точка , в которой касательная параллельна хорде, стягивающей граничные точки графика функции (рис. 28).

Теорема Коши

Теорема Коши. Если функции y = f(x) и y = g(x) непрерывные на отрезке , дифференцируемые в каждой внутренней точке этого отрезка и при этом производная y = g(x) ни в одной из этих точек не обращается в нуль ( ), то найдется такая внутренняя точка , что

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что , иначе по теореме Ролля существовала бы такая точка , в которой , что противоречит условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию y = F(x), которая будет удовлетворять условиям теоремы Ролля.

.

Значения функции y = F(x) в точках х = а и х = b равны нулю. Действительно,

,

.

Функция y = F(x) является дифференцируемой, так как является линейной комбинацией дифференцируемых функций y = f(x) и y = g(x). Находим

.

По теореме Ролля существует точка , в которой производная функции y = F(x) равняется нулю

.

Отсюда получаем

.

Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов.

Правило Лопиталя

Теорема 2.1.Если в некоторой окрестности точки функции y = f(x) и y = g(x) определены и дифференцируемые, причем , пределы функций при равны нулю, т. е. , то предел отношения этих функций равняется пределу отношения их производных

,

если этот предел существует (конечный или бесконечный).

Д о к а з т е л ь с т в о. Доопределим функции y = f(x) и y = g(x) так, что . Тогда на отрезке выполняются условия теоремы Коши, т. е. существует такая точка , что

.

Учитывая, что , имеем .

Так как при также и , то

.

Если в результате применения правила Лопиталя получается снова неопределенность типа и производные и также удовлетворяют требованиям теоремы, как функции и , то можно повторно применить правило Лопиталя, т. е. .

Правило Лопиталя справедливо также в случае когда . Покажем это. Пусть . Сделаем замену переменной x = 1/t. Тогда при и , . Применим к функциям и правило Лопиталя, получим

.

Здесь производные от функций и находились по правилу нахождения производных сложных функций.

Правило Лопиталя справедливо так же, если , т. е имеет место неопределенность типа , .

Покажем это. Преобразуем данный предел к пределу с неопределенностью типа и применим правило Лопиталя для этого случая, получим

Имеем равенство Отсюда получаем

, т. е. .

Пример 2.10. .

Пример 2.11. .

Пример 2.12. .

Если при нахождении пределов неопределенность имеет вид произведения , то прежде, чем применять правило Лопиталя, ее нужно привести к неопределенностям типа частного или .

Пример 2.13.

.

Пример 2.14.

.

Если при применении правила Лопиталя под пределом имеются некоторые функции, которые не приводят к неопределенности, то эти функции нужно выделить в отдельный предел, т. е. разбить предел на два предела.

Пример 2.15.

.

Применение правила Лопиталя

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: