Пирамида. Основные элементы. Правильная пирамида, её свойства. Построение изображения пирамиды.

Многогранники. Основные элементы. Выпуклые и невыпуклые многогранники.

Многогранник – это ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называется ее гранями, их стороны – ее ребрами, а их вершины – вершинами многогранной поверхности. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащей одной грани, наз-ся диагоналями. Простой многогранник (двумерный или трехмерный) называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от любой плоскости, содержащей его грань (н-р: куб, призма, пирамиды, усеченные пирамиды и др.). Теорема Декарта – Эйлера о многогранниках. Т1: Сумма числа вершин и числа граней выпуклого многогранника на 2 единицы больше числа его ребер (В+Г=Р+2). Т2: Эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна двум. Выпуклые правильные многогранники. Многогранник наз-ся правильным, если все его грани правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны и правильны. Многогранный угол наз-ся правильным, если все его двугранные углы равны между собой и все его плоские углы равны между собой. Примечание: 1. Говорят, что 2 правильных многогранника относятся к одному типу, если у них одинаковы следующие характеристики: число вершин – В, число граней – Г, число ребер – Р, число вершин у каждой грани – n, число граней в каждой вершине s. 2. Не следует путать выпуклые правильные многогранники с правильной призмой, правильной пирамидой, прав.усеченной пирамидой, т.к. у названных фигур равны только ребра оснований, а боковые ребра могут быть и не равны ребрам основания и, кроме того, не все их грани являются равными многоугольниками. Существует 5 типов правильных выпуклых многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней. Существует 4 типа (или тела Кеплера - Пуансо): Большой икосаэдр, Малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр.

Призма. Основные элементы. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Построение изображения призмы.

Призма – многогранник, у которого 2 грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани – параллелограммы, у каждого из которых 2 стороны являются соответственными сторонами оснований. Стороны боковых граней называются ребрами оснований, стороны оснований называются ребрами оснований, вершины оснований наз-ся вершинами призмы. Все равны между собой, равны и параллельны соотв.стороны оснований. Высотой призмы наз-ся расстояние между плоскостями и ее основаниями. Призма называется прямой, если её боковые ребра перпендикулярны основанию. В такой случае боковые ребра являются высотой прямой призмы. У прямой призмы боковые грани – прямоугольники. Наклонная призма – призма, боковые ребра которой не перпендикулярны основанию. Прямая призма называется правильной, если ее основанием является правильный многогранник. Построение: сначала строится одно из оснований. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

Параллелепипед. Основные элементы. Свойства параллелепипеда. Прямой и прямоугольный параллелепипед. Куб. Построение изображения парал-да и куба.

Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. Эл-ты: 2 грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро – смежными. Две вершины парал-да, не принадлежащие одной грани, наз-ся противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, наз-ся диагональю парал-да. Длины трех ребер прямоугольного парал-да, имеющих общую вершину, наз-т его измерениями. Свойства: 1. В параллелепипеде все его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. 2. Противоположные грани парал-да попарно равны и параллельны. 3. Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники. 4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Прямоугольный параллелепипед – прямой параллелепипед, основание которого прямоугольники, параллельные и равные между собой. Прямой параллелепипед — это параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны основанию. Однако в основании прямого параллелепипеда в общем случае лежит параллелограмм. А вот в основании прямоугольного параллелепипеда — обязательно прямоугольник. Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, т.е. все грани которого – квадраты. Квадрат диагонали куба = 3*А (в квадрате), А – измерение куба. Построение: Построить параллелепипед можно с помощью обычной и треугольной линейки. Суть построений заключается в параллельном проведении всех линий геометрической фигуры; Чтобы построить куб во всех этих положениях, достаточно построить переднюю грань, провести линии из четырех углов в точку схода, отложить на этих линиях верхние и нижние ребра и соединить их между собой.

Пирамида. Основные элементы. Правильная пирамида, её свойства. Построение изображения пирамиды.

Пирамида - многогранник, одна грань которого плоский многоугольник (основание пирамиды), а остальные грани (боковые грани) - треугольники с общей вершиной, а их общая вершина - вершина пирамиды.

Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, а также длина этого перпендикуляра.

Формула площади боковой поверхности для правильной пирамиды: ½ h * P основания

Пирамида называется правильной, если её основание - правильный многоугольник и высота проходит через центр этого многоугольника.

Высота боковой грани правильной пирамиды - апофема.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания - диагональное сечение пирамиды.

Свойства правильной пирамиды:

1. Апофемы равны.

2. Высота проходит через центр основания.

3. Боковые ребра равны между собой

4. все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

5.площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

6. все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы

7. все высоты боковых граней равны между собой

Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят правильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображающий высоту пирамиды. Точку S соединяют со всеми вершинами основания.

Формула площади боковой поверхности для правильной пирамиды: ½ h * P основания

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: