ГЛАВА 10. НЕСОБСТВЕННЫЕ (ОБОБЩЕННЫЕ) ИНТЕГРАЛЫ

(Интегрирование на некомпактном промежутке)

Ранее был рассмотрен определенный интеграл, необходимым условием существования которого являлось условие ограниченности подынтегральной функции на отрезке . При этом подразумевалось, что отрезок интегрирования конечный, или как его называют компактный. Такие интегралы в противоположность тем, которые будут рассматриваться в этом разделе, иногда, называют собственными.

df.1 Компактным промежутком будем называть -ой сегмент .

df.2 Пусть - полуинтервал числовой прямой , причем ” в ” может быть , символами , а функция интегрируема на сегменте .

df.3 Пусть f(x) – определена на промежутке и f(x) , тогда предел

(1)

называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке , если этот предел и конечен.

Очевидно возможны 2 частных случая:

1) Интеграл с бесконечным верхним пределом:

, .

2) Интеграл от неограниченной функции:

, в=const в этом случае

Заметим, что если (ограничена), тогда получаем обычный интеграл Римана. В силу непрерывности функции на (т.е. ), т.е.

df.4 Пусть f(z) определена на промежутке . ( ) и . Тогда предел

(2)

называется несобственным интегралом от функции f(x) на , если предел и конечен.

Опять возможны два случая:

1) с бесконечным нижним пределом:

2) интеграл от неограниченной функции:

, здесь .

df.5 Пусть f(x) определена , что -ют несобственные интегралы , то по df: .

df:

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что в этом определении значение

н. и. не зависит от выбора (^.) ”c”.

Заметим также, что последнее определение эквивалентно следующему определению:

df:

т.е. здесь рассматривается предел функции двух переменных ”y” ”z”. Т.е. при вычислении предела стремятся к независимо.

df.6 f(x) определена на за исключением конечного числа точек и н.и. -ет (i=1,2,..., n). Тогда н. и. от f(x) на назовем:

df:

По определению полагаем геометрический смысл н. и. – площадь соответствующих «бесконечных» криволинейных трапеций.

y df.3 y df.3

f(x) f(x)–неограни

f(x) ченная вU(в)

0 a x 0 a в x

y y

df.4df.4

f(x) f(x) – неограни-

f(x) ченная в U(a)

0 в x 0 a’ a в x

y y

df.5 df.5

f(x) f(x) неогра-

f(x) ниченная в

U(а) U(в)

0 x a 0 в x

Если соответствующие пределы в определениях 3, 4 5 -ют и конечны, то говорят, что функция f(x) интегрируема в несобственном смысле ( и т.д.), а интеграл – сходится. В противном случае интеграл – расходится.

Можно показать, что свойства интегралов из df. 3 4 аналогичны, а интегралы вида 5 6 сводятся к ним.

Поэтому в дальнейшем изложении в основном ограничимся несобственными интегралами типа (1), т.е. df. 3

§ 10.2 СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Многие из них (однако, не все) аналогичны свойствам определенного интеграла.

. Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть f(x) и F(x)- первообразная f(x) на , тогда :

При этом под F(в) понимается:

или

Доказательство:

Т. к. , то по формуле Ньютона – Лейбница на :

2 . Линейность.

Пусть : и

(1)

Доказательство:

Из сходимости :

.

Переходим в последнем равенстве к пределу при или , т.к. пределы в правой части, то пределы левой части равенство (1).

3 . Интегрирование неравенств.

Пусть и , тогда .

4 . Интегрирование по частям.

Пусть:

1.

2. Пара из трех функций интегрируема на интегрируема и третья пара и справедливо неравенство:

- (1)

При этом входящие в (1)выражения понимаются в несобственном смысле.

(Свойства 3 и 4 доказать самостоятельно).

5 . Замена переменной в Н. И.

Пусть:

1. .

2. .

3. , .

Тогда , причем оба интеграла сходятся или расходятся одновременно. (Без доказательства).

Отметим, что, используя свойство 5, можно показать, что всегда от интеграла с бесконечным пределом можно перейти к интегралу от неограниченной функции и наоборот.

Пусть, например, . Сделаем замену ;

при x=a, t=0;

при x=в-0, t= ;

, тогда .

Поэтому далее в основном будем рассматривать интегралы вида:

.

6 . Аддитивность Н. И.

(от латинского additivus – прибавляемый, свойство величин).

Пусть , тогда и .

Доказательство:

Пусть :

=(предел слева предел справа) = .

§ 10.3 ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ Н. И.

Будем рассматривать интегралы вида: . Обозначим и назовем его частным интегралом, а - остатком.

Th.1

1) и конечен.

2) .

Причем условия 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство:

Условие 1 следует из определения . В силу аддитивности:

.

Переходя к пределу при получим .

Следствие.

Очевидно, что - первообразная для функции f(x) на , т.о. , что также из обобщения формулы Ньютона – Лейбница.

Следовательно, простейшим способом установления сходимости несобственного интеграла является вычисление его по формуле Ньютона – Лейбница:

Однако, не всегда возможно найти или нахождение ее громоздко.

В этом случае используются признаки сходимости, о которых будет идти речь ниже.

Th.2Критерий Коши.

.

Доказательство:

В силу Th.1 , но по критерию Коши существования конечного предела (смотри I семестр): : .

(Необходимо полагать , т.к. ограничена на ).

Но .

●Достаточно эффективных при практическом использовании признаков (теорем) сходимости н.и. от произвольных функций не существует. Поэтому далее ограничимся только случаем неотрицательных функций, т.е. .

Отметим при это, что по свойству линейности.

Т.о. все результаты, полученные для неотрицательных функций могут быть перенесены на неположительные функции ( ) с небольшими изменениями.

Th.3 Необходимое и достаточное условия сходимости для

Неотрицательных функций.

Пусть Тогда

частичный интеграл будет ограничен на .

Доказательство:

Покажем, что на ( -монотонно возрастает). Действительно, пусть . Очевидно, , т.к. .

Но из I семестра известно:

Пусть на , тогда - ограничена на .

Дополнительно получим:

Но по Th.1

Рассмотрим два интеграла:

1) (1)2) (2)

Th.4 Признак сравнения.

Пусть: a) .

б) .

Тогда: а) из сходимости (2) сходимость (1)

б)из расходимости (1) расходимость(2).

Доказательство:

Пусть (2)сходится - ограничена на и

Пусть очевидно : .

Т.о. - ограничена на (1)сходится.

Аналогично: (1)расходится на - неограниченна - неограниченна (2)расходится.

Следствие.

Th.4 окажется в силе, если условие б) выполняется , т.е , или . Действительно,

, 1-ое слагаемое постоянно и не влияет на сходимость.

Th.5 Признак сравнения в предельной форме.

Пусть: а) .

б) .

в) .

Тогда: Интеграл (2)сходится (1)сходится.

Интеграл (1)расходится (2)расходится.

Доказательство:

Т.к. или

,т.к g(x)

- рассмотрим это неравенство.

Обозначив , т.к , т.о. , т.к. по Th.4 сходимость . Аналогично рассматривается расходимость.

Следствие 1.

При условиях Th.5 а) и б), и замене в) на (1)и (2)сходятся иди расходятся одновременно.

Доказательство:

Для доказательства достаточно учесть, что т.к.

по Th.5: сходимость (1) сходимость (2),расходится (2) расходится (1).

Итак, сходится (1) сходится (2),расходится (2) расходится (1).

Следствие 2.

Если (эквивалентны) при , то (1) и (2)сходятся или расходятся одновременно. Это частный случай следствия 1, т.е при l=1.

Замечание.

Аналогичные признаки сравнения можно сформулировать для других типов Н. И.

Нужно только в Th.4 потребовать выполнение неравенства на соответствующем интервале .

В Th.5 предел при нужно заменить на или .

12

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.