Построение л.в. усилий с помощью нулевых точек.

Распорные системы.

Распорные системы – это системы, в которых под действием внешней нагрузки возникает наклонная опорная реакция с горизонтальной составляющей, называемой распором.

К ним относятся: арки, рамы, комбинированные и вантовые системы.

Двухшарнирная арка – криволинейная конструкция с 2-мя неподвижными опорами А и В, называемыми пятовыми.

Это статически – неопределимая система.

Если поставить в середину дополнительный шарнир «С» (ключевой шарнир), то арка станет трехшарнирной.

Трехшарнирная арка – статически определимая и геометрически неизменяемая конструкция, состоящая из 2-х полуарок, имеющую наклонную реакцию в неподвижных шарнирах А и В.

f – стрела подъема (расстояние по нормали от ключевого шарнира до линии, соединяющей опорные шарниры);

l – пролет (расстояние между неподвижными опорами);

АС и СВ – полуоси арки.

Кинематический анализ. D₁, D₂, D₃, соединены по 4 типу.

Виды арок.

Определение опорных реакций трехшарнирной арки.

Вертикальные составляющие опорных реакций арки равны соответствующим опорным реакциям эквивалентной балки:

(1)

Горизонтальная составляющая или распор определяется из уравнения:

Чтобы определить ее величину, воспользуемся дополнительным уравнением: сумма момента левее или правее ключевого шарнира С равна нулю.

(2)

Особенности формулы 2:

- Н не зависит от вида арки,

- при .

Пример.

Проверка: 9,25+12,75=6+2*8

0=0.

Строим эпюры Q⁰ и М⁰.

Определение внутренних усилий в заданном сечении арки.

Внутренними усилиями является изгибающий момент М_К, поперечная сила Q_К и продольное усилие N_К, которые определяются методом сечений из соответствующих уравнений равновесия.

М_К= V_Ax_K - P(x_K-a) - Hy_K, где х_К и у_К – координаты сечения «к».

М_К⁰

М_К= М_К⁰- Hy_K_.(3)

Из (3) видно, что:

- М_К не зависит от вида арки;

- Арка экономичнее балки, так как М_К арки < М_К⁰ балки на Hy_K.

Найдем Q_К из рассмотрения равновесия всех сил левее сечения на нормаль «n» к оси. Пусть - угол наклона касательной в сечении «К» к оси «Х».

(4)

Аналогично, рассматривая равновесие всех сил левее сечения на ось «t» перпендикулярной «n», найдем продольное усилие N_K:

(5)

Из (5) видно, что продольные усилия в сечении арки всегда сжатые (N<0).

Замечания к формулам (3) – (5):

1) С ниспадающей стороны арки ,

значит

поэтому получим:

(4^l)

(5^l)

2) Если сечение находится в месте соединения двух панелей арки, то нужно определять Q_K^лев; N_K^лев и Q_K^пр; N_K^пр.

Пример.

Найдем М_К; Q_K; N_K.

С эпюры Q⁰ возьмем Q_К⁰ = 3,25 кН.

М_К⁰ = 9,25*4 – 6*2 = 25 кНм.

у_К = 3 м.

х_ч = 4 м.

Н = 9,5 кН.

Особенности расчета арок с опорами в разных уровнях.

Наклонную составляющую Н_А^l следует разложить на горизонтальные Н_А и вертикальные V_A. тогда

Аналогично разложим стрелу подъема .

Тогда:

с другой стороны

т.е. Определение распора в такой арке ничем не отличается от обычной.

Вертикальные реакции, полная:

Аналогично:

Особенность: .

Внутренние усилия определяются по формулам:

Особенность расчета арок с затяжкой.

Затяжка применяется, если невозможно устроить достаточно опор для восприятия распора. Она ставится для большей устойчивости. Расчет принципиально не отличается от обычных арок.

Особенности: .

Усилия считаются, если сечение «К»:

а) Ниже затяжки (Н=0):

б) Выше затяжки:

Линии влияния опорных реакций.

Линии влияния вертикальных составляющих опорных реакций V_A

и V_B ничем не отличаются от л.в. вертикальных реакций простой балки того же пролета.

Распор л.в. Н имеет такой же вид, что и л.в. балочного момента , и отличается от неё лишь множителем «1/f».

Она имеет 2 ветви, при положении груза левее шарнира «С» и правее.

Линии влияния внутренних усилий.

Эти линии влияния строятся с использованием ранее полученных зависимостей для определения изгибающего момента, поперечной силы и продольного усилия:

В соответствии с ними сначала строятся л.в. усилий для балки с тем же пролетом и л.в. распора для арки. Затем они складываются и, при этом, вводятся поправочные коэффициенты.

Построение л.в. усилий с помощью нулевых точек.

Нулевые точки – те, в которых ординаты л.в. равны нулю. Они образуются при пересечении средней прямой на линиях влияния с осью абсцисс. Чтобы их определить, нужно найти такое положение силы Р=1, при котором М_К, Q_Ки N_К =0.

Для построения л.в. изгибающего момента в сечении К используем известное из теоретической механики свойство: система 3-х сил может быть уравновешена только тогда, когда они сходятся в одной точке.

Очевидно, что М_К= 0, если линия действия реакции V_A проходит через сечение с другой стороны, момент в ключевом шарнире М_С = 0, если линия действия реакции V_В проходит через этот шарнир.

Из условия равновесия системы сходящихся сил следует, что единичная сила должна быть приложена в точке пересечения линии действия V_A и V_В. Эта точка О_Н будет нулевой точкой для М_К.

Чтобы определить нулевую точку поперечной силы Q_К проведем из опоры А прямую, параллельную касательной к оси арки в сечении К до пересечения с (ВС).

Получим точку О_q. Если груз Р приложить в эту точку, то Q_K = 0, так как слева от сечения действует лишь одна R_A по оси, перпендикулярной действию Q_K.

Для определения нулевой точки продольной силы проанализируем ее выражение. Из него видно, что N всегда отрицательна, не зависимо от места сечения, т.е. точка, в которой может произойти изменение знака N должна находиться за пределами арки. Чтобы построить эту «мнимую» нулевую точку О_N нужно, чтобы R_A была перпендикулярна N, т.е. провести из шарнира А прямую перпендикулярно касательной к сечению до пересечения с (ВС).

Определив заранее все нулевые точки О_М, Oq, O_N, можно не производить графическое суммирование составляющих линий влияния, а строить их стразу с ординатами, отложенными от оси абсцисс. Такой прием построения л.в. называется способом нулевой точки.

Порядок построения л.в. при этом легко может быть установлен по л.в. этих усилий, построенных аналитическим способом.

Например для построения л.в. М_К надо:

1) На левой опоре (если сечение k слева) отложить вверх абсциссу х_k.

2) Спроецировать на ось абсцисс нулевую точку О_М.

3) Соединить вершину х_К с нулевой точкой d.

4) Спроецировать сечение k на полученную прямую.

5) Соединить k₁ с нулем на левой опоре.

6) Спроецировать на прямую kd шарнир С (точка С₁).

7) Соединить С₁ с нулем на правой опоре.