Усилий в заданном сечении арки с помощью нулевых точек
Расчет 3-х шарнирной арки
Шифр: схема №15, нагрузка №4, размеры № 4
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202887849118.files/image002.jpg)
Содержание
Расчет арки на неподвижную нагрузку
1.1. Определение опорных реакций;
1.2. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил;
1.3. Определение геометрических параметров в заданном сечении арки;
1.4. Определение внутренних усилий в заданном сечении арки аналитическим способом;
Расчет арки на подвижную нагрузку
2.1. Построение линий влияний опорных реакций и внутренних усилий М, Q, N в заданном сечении аналитическим способом;
2.2.Построение линий влияния внутренних усилий в заданном сечении арки с помощью нулевых точек;
2.3.Определение внутренних усилий в заданном сечении по линиям влияния.
Расчет на неподвижную нагрузку
Определение опорных реакций.
Так как нагрузка действует перпендикулярно линии, соединяющей опоры арки, то арку можно заменить эквивалентной балкой.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202887849118.files/image004.jpg)
Тогда мы можем использовать уравнение равновесия для арки, в которой определим вертикальные составляющие реакций:
∑Ма=0 => Vв=Vв°,
∑Мв=0 => Vа=Vа°,
где Vа° и Vв° - балочные опорные реакции.
Горизонтальные составляющие и распор определим из:
∑Х=0 => На=Нв=Н
Чтобы найти неизвестный распор воспользуемся дополнительным уравнением: алгебраическая сумма моментов сил, действующих на левую или правую половину арки, относительно ключевого шарнира С равна 0.
∑ Мс° =0 => Н=Мс°/f,
где Мс° - балочный момент
∑Ма=0: Vв° = (-2*14*14-24*28-12*35)/42 = 35,33 кН;
∑Мв=0: Vа° = (12*7+24*14+2*14*28)/42 = 28,67 кН;
∑ Мс°(пр) =0: Н = (-24*7-12*14+35,33*21)/17,5 = 23,2 кН.
Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202887849118.files/image006.jpg)
Определение геометрических параметров в заданном сечении
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202887849118.files/image008.jpg)
Рассмотрим треугольник авс чтобы определить Yк:
ав=√ас²+вс² = √7²+3,5² = 7,83 м;
cosφ=ас/ав =7/7,83 = 0,89 м;
sinφ=вс/ав = 3,5/7,83 = 0,45 м;
tgφ= sinφ/cosφ = 0,5 м;
d = x*tgφ = 3,5*0,5 = 1,75 м;
Тогда Yк = 14+1,75 = 15,75 м.
Определение внутренних усилий в заданном сечении арки аналитическим способом
Внутренним усилием в заданном сечении является изгибающий момент Мк, поперечная сила Qк (действующая по оси перпендикулярно к оси арки, т.е. по нормали n) и продольные усилия Nк (действующие вдоль оси арки).
Они определяются по методу сечений. Используем готовые формулы Мк, Qк, Nк:
1. Мк = Мк°-Н*Yк,
2. Qк = Qк°cosφк-Hsinφк,
3. Nк = -(Qк*sinφк+H*cosφк),
где Мк° и Qк° - значение момента и поперечной силы в сечении для эквивалентной балки.
Из формулы 1 видно преимущество арки перед балкой, следовательно более экономичная.
Из формулы распора видно, что:
1) Н не зависит от очертаний арки;
2) При f=>0; H=>∞, при f=>∞; H=>0.
Мк° = 28,67*10,5-2*3,5*1,75= 288,79 кНм;
Qк° = 28*67-2*3,5 = 21,67 кН;
Sinφ и cosφ берем из п.1.3 и находим значения Мк, Qк, Nк для данной арки:
Мк = 288,79-23,2*15,75 = -76,61 кНм;
Qк = 19,29-10,44 = 8,85 кН;
Nк = -(9,751+20,648) = -30,399 кН.
Расчет арки на подвижную нагрузку
Построение линий влияний опорных реакций и внутренних усилий М, Q, N в заданном сечении аналитическим способом
Линии влияния вертикальных составляющих Vа и Vв ничем не отличаются от линий влияний вертикающих реакций простой балки того же пролета. Уравнения такие же как для балки типа І.
Vа = Vа° = Р*(l-x)/l = (l-x)/l;
Vв = Vв° =x/l;
Линия влияния горизонтального распора Н строится из формулы Н = Мс°/f, т.е. она имеет такой же вид как линия влияния балочного момента в сечении С, умноженного на коэффициент 1*f, где f- стрела подъема арки.
Построим линии влияния для Мк, Qк, Nк аналитическим способом по известным нам формулам:
Мк = Мк° - Н*Yк,
Qк = Qк°cosφк - Hsinφк,
Nк = -(Qк*sinφк + H*cosφк),
В соответствии с ними линии влияния получаются путем предварительного построения линий влияния изгибающего момента Мк°, поперечной силы Qк° в сечении К для простой балки (тип І) и построения линии влияния распора Н арки. А затем путем сложения их с учетом поправочного коэффциента.
Последовательность построений показано на графике:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202887849118.files/image010.jpg)
2.2.Построение линий влияния внутренних
усилий в заданном сечении арки с помощью нулевых точек
Нулевые точки – точки, в которых ординаты л/в равны нулю. Они образуются при пересечении средней прямой на линиях влияния с осью абсцисс. Чтобы их определить нужно найти такое положение силы Р=1, при котором МК=0, QК=0, NК=0.
| Для построения линий влияния изгибающего момента в сечении К найдем такое положение единичной силы, при котором момент в этом сечении будет равен 0. Для этого используем известное из теоретической механики свойство: система 3-х сил может быть уравновешена в одной точке. Очевидно, что МК=0, если линия действия реакции VA проходит через сечение С с другой стороны, момент в ключевом шарнире МС=0, если линия действия реакции VB проходит через этот шарнир.
| Из условия равновесия системы схождения сил следует, что единичная сила должна быть приложена в точке пересечения линии действия VA и VB. Эта точка будет нулевой для МК.
| Чтобы определить нулевую точку поперечной силы QK проведем из опоры А прямую, параллельную касательной К оси арки в сечении К до пересечения с (ВС). Получим точку Oq. Если груз Р приложить в эту точку, то QK=0, так как слева от сечения действует лишь одна RA по оси, перпендикулярной действию QK.
| Для определения нулевой точки продольной силы проанализируем ее выражение. Из него видно, что N всегда отрицательна, независимо от места сечения, то есть точка, в которой может произойти изменение знака N должна находиться за пределами арки. Чтобы построить эту «мнимую» нулевую точку ON нужно, чтобы RA была перпендикулярна N, то есть провести из шарнира А прямую, перпендикулярную касательной к сечению до пересечения с (ВС).
Определив заранее все нулевые точки OM, OQ, ON, можно не производить графическое суммирование составляющих линий влияния, а строить их сруазу с ординатами, отложенными от оси абсцисс. Такой прием построения линий влияния называется способом нулевой точки.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202887849118.files/image018.jpg)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|