Уравнения равновесия тела.

Будем считать, что если взаимное положение тел и их положение относительно выбранной неподвижной системы координат остаётся неизменным, то тело или система тел находятся в равновесии. Пусть ≠0, ≠0, но при этом тело находится в равновесии (доказательство от противного). В п.4 предыдущего параграфа сказано, что произвольная система сил может быть приведена к двум непересекающимся силам. Но согласно 2-ой аксиоме статики (свободное абсолютно твердое тело под действием двух сил будет находиться в равновесии только в том случае, когда эти силы равны, по величине и направлены вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны), необходимо чтобы эти две силы и ( рис. 10) в сумме давали ноль. Отсюда сразу следует, что главный вектор сил равен нулю, и как следствие должен быть равен нулю и главный момент системы сил. Это необходимое условие равновесия, достаточность этого утверждения будет доказана позже. Итак, необходимым и достаточным условием равновесия тела или системы тел является равенство нулю главного вектора и главного момента системы сил.

=0 =0 (1.6)

Два векторных условия (1.6) могут быть в общем случае при­ведены к шести алгебраическим уравнениям; для этого надо спроек­тировать левые части этих уравнений на три оси координат, произ­вольно выбранные в пространстве. Тогда при принятых обозначениях будем иметь следующие шесть уравнений:

(1.7)

которые выражают следующее положение: при равновесии твер­дого тела под действием пространственной системы сил суммы проекций всех сил на оси координат и суммы моментов сил относительно координатных осей равны нулю. При изучении условий равновесия данного тела оно рассматривается как свободное, для чего оно мысленно выделяется из общей цепи взаимодействующих тел. Действие других тел заменяется реакциями связей, поэтому в уравнения равновесия входят как задаваемые (активные) силы так и реакции связей. В отдельных частных случаях некоторые из этих шести урав­нений могут выполняться тождественно; при этом число уравнений равновесия уменьшается. Отметим важнейшие из этих частных случаев.

1. Сходящаяся система сил. Выбирая точку, в которой сходятся линии действия сил, за центр моментов, заметим, что уравнения моментов тождественно обратятся в нуль, так как линии действия сил пересекут оси координат, число уравнений равновесия сокращается до трех уравнений проекций сил на оси координат.

2. Плоская система сил. Расположим ось OZ перпендику­лярно к плоскости действия сил. Тогда три уравнения тождественно обратятся в ноль (см. п.1 предыдущего параграфа) и станутся три уравнения

(1.8)

Глава 2.

Центр параллельных сил и центр тяжести.

Центр параллельных сил.

Система параллельных сил, как было указано выше, приводится к равнодействующей. Докажем теорему Вариньона: если система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей, относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов сил относительно этой точки. Действительно, зависимость главного момента от центра приведения задаётся формулой (1.4)

Выберем точку О на линии действия равнодействующей. Тогда , но =0, как момент равнодействующей относительно точки, лежащей на линии её действия, и тогда

(1.9)

Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ , в этом случае можно записать , а формулу (1.9) переписать в виде

(1.10)

Для выполнения условия (1.10) должно быть: или выражение в скобках равно нулю, либо выражение в скобках параллельно вектору , но мы выбрали направление OZ произвольно, следовательно, нулю должно быть равно выражение в скобках, из которого и получаем выражение для центра параллельных сил

(1.11)

Центр параллельных сил всегда находится на линии равнодействующей, но это особая точка. Если все силы повернуть на один и тот же угол, не меняя точек их приложения, в одну и ту же сторону, то выражение в скобках формулы (1.10) и модуль равнодействующей не изменится, но сама равнодействующая повернётся на тот же угол вокруг центра параллельных сил. В проекциях на оси декартовой системы координат формула (1.11) записывается в виде

(1.12)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: