Вывод дифференциальных уравнений покоящейся жидкости.

Физические свойства жидкости.

Известно три фазовых состояния веществ: твердое, жидкое, газообразное.

Фазовое состояние определяется силами межмолекулярного взаимодействия.

Жидкое – некоторое промежуточное состояние между твёрдым и газообразным.

Жидкость обладает двумя особыми свойствами:

1. Весьма мало изменяет свой объём при изменении давления или температуры — т.о. сходна с твёрдым телом.

2. обладает текучестью — т.е. не имеет собственной формы (но имеет конечный объём), т.о. сходна с газам.

Эти особые свойства жидкости объясняются её молекулярным строением.

· Плотность жидкости

где V – рассматриваемый объём жидкости;

m – масса рассматриваемого объёма жидкости.

Объёмный вес жидкости

(применяется в технической системе единиц);

. (*)

· Текучесть и вязкость жидкости

Текучесть – свойство жидкости деформироваться под действием сдвиговых напряжений.

Вязкость – свойство текучих тел оказывать сопротивление сдвигающему усилию и препятствовать перемещению одной части объёма относительно другой.

(в некотором роде вязкость – трение внутри объёма жидкости)

Свойства гидростатического давления.

Свойство 1. Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали (т.е. со стороны жидкости) к площадке (рис 2.2 а).

Рис. 2.2 Свойство 1 гидростатического давления.

Свойство 2. Величина гидростатического давления не зависит от ориентации площадки (т.е. гидростатическое давление действует во все стороны).

Рис. 2.3 Свойство 2 гидростатического давления.

Вывод дифференциальных уравнений покоящейся жидкости.

1. Рассмотрим покоящуюся жидкость, на которую действует массовая сила F (не обязательно сила тяжести).

Отнеся величину силы F к единице массы жидкости, на которую она действует, можно говорить о единичной массовой силе.

(величина силы – скаляр, т.е. длина вектора в масштабе сил)

(V – единичный объём, )

Так как сила F – вектор можно говорить о проекциях единичной массовой силы F_m

.

2. Выделим в покоящейся жидкости прямоугольный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (Рис. 3.1).

3. Отбросим окружающую параллелепипед жидкость и заменим её действие соответствующими силами – это силы давления, действующие на площадки – грани параллелепипеда.

Рис. 3.1. Вывод дифференциальных уравнений покоящейся жидкости.

4. Составим уравнение равновесия для проекций сил:

5. Рассмотрим силы давления (поверхностные силы).

Из всех сил давления, действующих на параллелепипед проекции (отличные от нуля) дают только силы Р₁ и Р_2, причём.

_;

,

где р₁ и р₂ – соответственно, давление в точках приложения сил Р₁ и Р₂.

Пусть известно давление в точке А (центр параллелепипеда). При действии на жидкость объёмной силы (массовой силы) F давление в ней изменяется по некоторому закону. Опишем это изменение давления с помощью градиента давления.

Градиент давления – величина, характеризующая изменение давления по какому-либо направлению на единице длины.

– «скорость» изменения давления в направлении ОХ;

– «скорость» изменения давления в направлении ОY;

– «скорость» изменения давления в направлении ОZ;

Пусть давление увеличивается вдоль оси ОХ (рис. 3.2), тогда

,

Рис. 3.2. Изменение давления в окрестности точки А.

Градиент давления – первая производная от функции изменения давления по соответствующему направлению ( , Δр=р₂-р₁, Δх=х₂-х₁).

Если давление уменьшается вдоль ОХ то и выражения для р₁ и р₂ справедливы.

Если давление – const, то и выражения для р₁ и р₂ также справедливы.

6. Рассмотрим массовые силы.

Если известна единичная проекция Х массовой силы F, действующей на жидкость, то для всего элементарного параллелепипеда проекция массовой силы F будет:

,

.

7. Итак, уравнение равновесия в проекции на ОХ.

Действующие силы, дающие проекции (не нулевые): Р₁, Р₂, F_х.

( F_x прибавляется с учётом её знака)

(подставим значения проекций сил)

(раскроем скобки)

(разделим на объём параллелепипеда)

.

8. По аналогии составляя проекции на оси OY и OZ получаем:

Уравнения Эйлера равновесия покоящейся жидкости

4 Вывод основного уравнения гидростатики.

Пусть на покоящуюся жидкость действуют только силы тяжести. Тогда проекции единичных массовых сил (в принятой системе координат см. рис. 4.1.) будут равны:

X = 0;

Y = 0;

,

где m – масса рассматриваемого

объёма;

g – ускорение свободного падения.

.

.

Рис. 4.1. Сила тяжести.

Запишем уравнения Эйлера в виде:

(4.1)

Домножим каждое из уравнений системы на dx, dy, dz, соответственно и сложим их почленно. Таким образом, преобразовав систему к виду, удобному для интегрирования.

(4.2)

1. Учтём условие действия сил тяжести (X=0; Y=0; Z=-g).

2. левая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал функции давления p=f(x,y,z) (давление в общем случае может изменяться вдоль каждой их осей), то можно записать:

Итак

(4.3)

(4.4)

(проинтегрируем)

(4.5)

Для определения постоянной интегрирования С необходимо задать граничные условия.

Начало координат поместим на поверхность жидкости (рис 4.2).

Рис 4.2. К выводу основного уравнения гидростатики.

При z = 0 p = p₀ (на свободной поверхности действует давление p₀).

Подставим граничные условия в уравнение 4.5.

(откуда)

(и формула 4.5 принимает вид:)

(4.6)

Введём координату h – глубина погружения точки А (см. рис. 4.2) под свободную поверхность жидкости.

↑h ➨ ↓z;

h=-z;

Учитывая это, перепишем уравнение 4.6.

;

Или

– Основное уравнение гидростатики (4.7)

Основное уравнение гидростатики позволяет рассчитывать давление в любой точке покоящейся жидкости, на которую действует только сила тяжести.

- весовое давление жидкости, Па. Обусловлено весом вышележащей жидкости.

5Способы определения давления..

Величина давления, полученная из основного уравнения гидростатики, называется величиной абсолютного гидростатического давления р_абс.

На практике зачастую давление на свободной поверхности жидкости известно, его величина равна атмосферному давлению (во многих случаях).

В технических расчётах часто не учитывают зависимость атмосферного давления от метеофакторов, а также от координат местоположения на земной поверхности и используют понятие стандартной атмосферы, считая атмосферное давление постоянным.

.

Превышение абсолютного давления над атмосферным давлением называется избыточным давлением. Т.о. избыточное давление показывает насколько отличается давление в точке измерения от атмосферного.

.

Таким образом, возможны два случая:

1 Случай: Величина абсолютного давления больше атмосферного давления.

➨

Такое положительное избыточное давление называют манометрическим.

Манометрическое давление показывает насколько давление в точке измерения больше атмосферного.

2 случай: Величина абсолютного давления меньше атмосферного давления.

➨

Такое отрицательное избыточное давление называют вакуумметрическим (величиной вакуума).

Вакуумметрическое давление показывает насколько давление в точке измерения меньше атмосферного.

Рассматривая величину избыточного давления мы сравниваем давление в точке измерения и атмосферное давление. Так как величина р_атм. задана условно и она постоянна, то, зная р_изб. можно определить р_абс.

6Способы выражения величины давления.

Из определения давления: Величина давления – нормальное сжимающее напряжение. Измеряется в ед. напряжения (сила/площадь).

Величину давления можно также представить как высоту столба жидкости h (призматического), вес которого создаёт на нижней его грани напряжение р, равное величине давления .

(4.8)

Рассмотрим сосуд, заполненный жидкостью, на поверхности жидкости действует давление р₀ (рис 4.4).

Рис.4.4 Способы выражения величины давления

Поместим в этот сосуд стеклянную трубку I, верхний конец которой запаян и из него полностью откачан воздух, т.е. абсолютное давление равно 0. Тогда на поверхность жидкости в этой трубке действует давление р₀^I=0.

Жидкость в такой трубке поднимется на высоту h_m^I относительно основания трубки – точки (.)m. Жидкость в трубке I поднимается до тех пор, пока давление жидкости со стороны сосуда не будет уравновешено давлением жидкости в трубке I.

Давление со стороны сосуда:

(4.9)

Давление со стороны трубки I:

, (4.10)

где р_m – величина абсолютного давления в точке (.)m.

Таким образом, из уравнения 4.10 можно выразить высоту столба жидкости (h_m^II), который компенсирует величину абсолютного давления p_m.

.

Поскольку абсолютное давление на поверхности жидкости в трубке I p_o^I=0 величина h_m характеризует величину абсолютного давления в (.)m (со стороны жидкости в баке).

Аналогично для трубки II, верхний конец которой открыт в атмосферу и абсолютное давление на свободной поверхности жидкости в ней p₀^II=p_атм.

,

т.к. то

Таким образом, величина h_m^II – высота столба на которую поднимется жидкость под действием избыточного давления

Абсолютное и избыточное давление может быть представлено в виде высоты столба жидкости, на которую она поднимется под действием соответствующего давления.

Так величина абсолютного атмосферного давления:

,

(водного столба, т.к. используется плотность воды)

➨эту же величину можно представить в высоте столба любой жидкости.

Например, плотность ртути при 20ºС – 13546 .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: