Темы 4, 5. Статистическая обработка результатов эксперимента

Цель:Ознакомить с порядком статистической обработки результатов эксперимента

План:

4.1. Необходимость обработки экспериментальных данных

4.2. Последовательность обработки экспериментальных данных

Основные понятия:среднеквадратическое отклонение результата эксперимента, доверительный интервал, доверительная вероятность

В настоящее время обработка экспериментальных данных прямых многократных измеренийв нашей стране регламентируется государственным стандартом, который в общем случае предусмат­ривает выявление закономерности поведения случайной погрешности (определения закона распределения) и статистические процедуры исключения грубых погрешностей.

В практике обработки экспериментальных данных чаще всего при­ходится сталкиваться со случаями, когда число измерений мало (не превышает 5 - 15).

В этих случаях пользуются вполне оправданным предположением о том, что закон распределения случайной погрешностиявляется нор­мальным (нормальный закон распределения вообще является наиболее распространенным законом распределения случайных величин, в том числе случайных погрешностей), а грубые погрешностине выявляются или определяются и отбрасываются интуитивно. Обработка экспериментальных данных прямых многократных измеренийв соответствии со стандартом базируется на теоретических положениях математической статистики, которые предполагают определение вместо характеристик нормального распределения их оценок. Так, вместо ма­тематического ожидания М[X] (является первым основным па­раметром нормального закона распределения), т.е. значения величины, вокруг которого группируются результаты отдельных измерений (при бесконечном числе измерений), определяется его оценка, которая представляет собой среднее арифметическое :

М[X] » = ,

(1)

где X_i - результат i -го измерения;

n – число измерений.

Второй параметр нормального закона распределения - среднеквадратическое отклонение s, характеризующее рассеяние результатов отдельных измерений относительно математического ожидания, опре­деляется оценкой по формуле:

s » S = ,

(2)

Оценка среднеквадратического отклонения результата измеренийопределяется по формуле:

S( ) = = .

(3)

При обработке экспериментальных данных прямых многократных измеренийпринято вычислять интервальную оценку погрешности, которая определяется с использованием погрешности S( ), на­зываемой точечной, и представлений о доверительном интервале и доверительной вероятности.

Доверительным интервалом с границами (или доверительными граница­ми) от - до + называют интервал значений случайной погрешности, который с заданной вероятностью Р_д, называемой до­верительной, накрывает истинное значение измеряемой величины. Обычно задаются значением доверительной вероятности (чаще всего Р_д = 0.95) и определяют значение доверительного интерва­ла.

При малом числе измерений (n 20) и использовании нормального закона не представляется возможным определить доверитель­ный интервал, так как нормальный закон распределения описывает поведе­ние случайнойпогрешности в принципе при бесконечно большом числе измерений. Поэтому, при малом числе измеренийиспользуют распределе­ние Стьюдента или t - распределение (предложенное английским статистиком Госсетом, публиковавшимся под псевдонимом «студент»), которое обеспечивает возможность определения доверительных интер­валов при ограниченном числе измерений. Границы доверительного интервала при этом определяются по формуле

= t S( ) ,

(4)

где t - коэффициент распределения Стьюдента, зависящий от задаваемой доверительной вероятности Р_д и числа измерений n.

Коэффициент t обычно определяется по таблице или рассчитывается по сложной формуле, описывающей распреде­ление Стьюдента. Предполагается, что:

-результаты измерений являются исправленными, т.е. из них исключены систематические погрешности;

-неисключенные систематическиепогрешности настолько малы, что ими можно пренебречь;

-результаты измеренийявляются равнорассеянными (равноточными) одинаково распределенными величинами (такие результаты получаются при выполнении измеренийодним оператором с помощью одних и тех же средств измерений);

-из результатов измерений исключены промахи и грубые погрешнос­ти

-число измерений не превосходит 15 (в этом случае признается и не проверяется нормальность распределения случайных погрешнос­тей).

1.	Получение n результатов наблюдений
2.	Вычисление среднего арифметического по формуле (1)
3.	Вычисление оценки среднеквадратического отклонения результатаизмерения по формуле (2)
4.	Принятие значения доверительной вероятности Рд (обычно Рд = 0.95)
5.	Определение коэффициента t в зависимости от Рд и n по таблице распределения Стьюдента
6.	Определение доверительных границ случайнойпогрешности по формуле (4)
7.	Запись результата измерений с использованием правил округления в виде: А = ± (Рд= ; n= )

Обработка экспериментальных данных прямых однократных измерений.

Ввиду того, что однократныеизмерения проводятся при условиях, когда всеми погрешностями, кроме погрешностейсредств измерений (инструментальные погрешности) можно пренебречь, результат прямого однократногоизмерения представляется в виде

А = ± D ,

(5)

где - значение физической величины, найденное по шкале измерительного прибора;

D - абсолютная погрешность для найденного значения , определяемая классом точности L средства измерений.

Класс точности средства измерений- обобщенная характеристика точности средства измерений.

В подавляющем большинстве случаев класс точности нормируется приведенной g или относительной d погрешностью:

L = g = ,

(6)

или

L = d = ,

(7)

где X_в и X_н верхний и нижний пределы измерений используемого средства измерений.

Значение класса точности указывается на шкалах или корпусах изме­рительных устройств. При этом, если число, определяющее класс точ­ности, заключено в окружность - ‚, то класс точности устройства следует определять по формуле (7), в противном случае - по формуле (6).

Таким образом, в каждом конкретном случае для определения значения D в формуле (5) необходимо выполнить вычисления по формулам, полученным из выражений (6) и (7), соответственно:

D = ,

(8)

D = .

(9)

Выводы: Обработка экспериментальных данных прямых многократных измеренийрегламентируется государственным стандартом, который в общем случае предусмат­ривает выявление закономерности поведения случайной погрешности (определения закона распределения) и статистические процедуры исключения грубых погрешностей.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: